概念介紹
多重傳遞群(multiply transitive group)是比傳遞群有更強的傳遞性質的置換群。設k是一個自然數，而G是Ω上的一個置換群，且|Ω|≥k。若對Ω的任意兩個有序k元子集{α，α，…，α}和{β，β，…，β}，都可找到一個元素g∈G，使得α=β，α=β，…，α=β，則稱G在Ω上是k重傳遞的；或簡單地稱，G在Ω上是k傳遞的。由這個定義，1重傳遞群就是通常所稱的傳遞群，2重傳遞群稱為雙傳遞群。一般地，若k≥1，一切k+1重傳遞群都是k重傳遞群。S是惟一的n次n重傳遞群，而A是n次的n-2重傳遞群。還可推出：當k≥2時，G在Ω上是k重傳遞的若且唯若G在Ω上是傳遞的並且對任意α∈Ω，穩定子群G在Ω\{α}上是k-1重傳遞的。由此可知，若G是Ω上的k重傳遞群而|Ω|=n，則G的階是n(n-1)…(n-k+1)的倍數。若k≥2，則一切k重傳遞群都是本原群。人們常把傳遞置換群分作三類加以研究：即二重和二重以上的傳遞群；非二重傳遞的本原群；非本原群。其中二重以上傳遞(即多重傳遞)群的研究一直是置換群理論的引人注意的課題。其背景是，雖然有大量的2重傳遞群和3重傳遞群，但除去S和A外，人們從未發現任何一個6重傳遞群，而4重傳遞群只知道有4個，馬蒂厄群M，M，M，M，其中M，M是5重傳遞的。利用有限單群分類定理，已經決定出全部的2重傳遞群。由此也證實了上述四個馬蒂厄群是A，S以外的全部4重傳遞群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
置換群
由置換組成的群。n元集合Ω={a，a，…，a}到它自身的一個一一映射，稱為Ω上的一個置換或n元置換。
有限群在其形成時期幾乎完全在置換群的形式下進行研究，拉格朗日和魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關於方程可解性的著作里，引進了n個根的一些函式進行研究，開創了置換群的子群的研究，得到“子群的階整除群的階”這一重要結果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中，對置換群進行了詳細的考察，引進了群的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下，柯西發表了關於置換群的重要文章(1815年)。他以方程論為背景，證明了不存在n個字母(n次)的群，使得它對n個字母的整個對稱群的指數小於不超過n的最大素數，除非這個指數是2或1。伽羅瓦對置換群的理論做出了最重要的貢獻，他引進了正規子群、兩個群同構、單群與合成群等概念，發展了置換群的理論。可惜他的工作沒有及時為數學界所了解。柯西在1844—1846年間，寫了一大批文章全力研究置換群。他把許多已有的結果系統化，證明了伽羅瓦的斷言：每個有限(置換)群，如果它的階可被一個素數p除盡，就必定至少包含一個p階子群。他還研究了n個字母的函式在字母交換下所能取的形式值(即非數字值)，並找出一個函式，使其取給定數目的值。
置換群的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當整理在他的《置換與代數方程》之中，他本人還發展了置換群理論及其套用。
本原群
本原群是傳遞置換群的一個子類。集合Ω上的傳遞置換群G，若沒有非平凡完全區系，則稱G為Ω上的本原群。否則，即G具有非平凡完全區系，就稱G為非本原群。例如，Ω={1，2，3，4，5，6}而G由元素g生成，其中g=(1，2，3，4，5，6)，那么{1，4}，{2，5}，{3，6}是G的一個非平凡的完全區系，同樣{1，3，5}，{2，4，6}也是G的非平凡的完全區系。因此G是非本原群。由這個例子還可以看出，在G為非本原群時，G可能有不止一個非平凡的完全區系.G在Ω上是本原的若且唯若對Ω中的任何兩個不同的點α，β和Ω的任一非空真子集Δ，都有G中一個元素g，使α∈Δ而βΔ.G在Ω上是本原群的另一個充分必要條件是，對任何α∈Ω，G是G的極大子群。關於本原群的研究是置換群論的最重要的內容。其中值得一提的工作是人們已經給出了次數≤50的全部本原群的一覽表，又藉助於有限單群分類定理，決定了全部素數p次置換群、雙傳遞群、秩3本原群，以及某種類型的奇數次本原群。
四重傳遞群——馬蒂厄群
馬蒂厄群是特殊的多重傳遞群。法國數學家馬蒂厄(Mathieu，É.L.)發現的5個多重傳遞群。它們的次數分別為11，12，22，23，24.後人把這5個群稱為馬蒂厄群，並且用M，M，M，M，M來表示。馬蒂厄群的最直接的定義方法是舉出集合Ω和S內的若干特別的元素而規定馬蒂厄群是這些元素生成的群。例如，取Ω={1，2，…，12}，記：
a=(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11)，b=(5，6，4，10)(11，8，3，7)，c=(1，12)(2，11)(3，6)(4，8)(5，9)(7，10)。
規定：M=〈a，b〉，M=〈a，b，c〉。又取Ω={1，2，…，24}，記：
d=(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23)，
e=(3，17，10，7，9)(5，4，13，14，19)·(11，12，23，8，18)(21，16，15，20，22)，
f=(1，24)(2，23)(3，12)(4，16)(5，18)·(6，10)(7，20)(8，14)(9，21)·(11，17)(13，22)(19，15)，
規定M=〈d，e〉，M=〈d，e，f〉。而記：
g=(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11)·(12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22)，
h=(1，4，5，9，3)(2，8，10，7，6)·(12，15，16，20，14)(13，19，21，18，17)，
j=(11，22)(1，21)(2，10，8，6)(12，14，16，20)·(4，17，3，13)(5，19，9，18).
規定M=〈g，h，j〉。馬蒂厄群的階分別為：
|M|=7920， |M|=95040，
|M|=443520， |M|=10200960，
|M|=244823040，
其中M可視為M的一個點的穩定子群;M，M可分別視為M的兩個點的和一個點的穩定子群。
馬蒂厄群的特別重要的性質是：1.它們都是單群，是最早發現的散在單群。2.除M外，其餘4個馬蒂厄群都是4重傳遞群，其中M和M還是5重傳遞的，而且M，M分別為精確4重傳遞和精確5重傳遞群。馬蒂厄群與組合設計有密切的關係，存在施泰納3元系S(4，5，11)，S(5，6，12)，S(4，7，23)，S(5，8，24)，使M，M，M，M為它們的自同構群。同時存在一個施泰納3元系S(3，6，22)，使M是它的自同構群的指數為2的正規子群。
