概念介紹
本原群(primitive group)是指傳遞置換群的一個子類。集合Ω上的傳遞置換群G，若沒有非平凡完全區系，則稱G為Ω上的本原群。否則，即G具有非平凡完全區系，就稱G為非本原群。例如，Ω={1，2，3，4，5，6}而G由元素g生成，其中g=(1，2，3，4，5，6)，那么{1，4}，{2，5}，{3，6}是G的一個非平凡的完全區系，同樣{1，3，5}，{2，4，6}也是G的非平凡的完全區系。因此G是非本原群。由這個例子還可以看出，在G為非本原群時，G可能有不止一個非平凡的完全區系。G在Ω上是本原的若且唯若對Ω中的任何兩個不同的點α，β和Ω的任一非空真子集Δ，都有G中一個元素g，使α∈Δ而βΔ.G在Ω上是本原群的另一個充分必要條件是，對任何α∈Ω，G是G的極大子群。關於本原群的研究是置換群論的最重要的內容。其中值得一提的工作是人們已經給出了次數≤50的全部本原群的一覽表，又藉助於有限單群分類定理，決定了全部素數p次置換群、雙傳遞群、秩3本原群，以及某種類型的奇數次本原群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
子群
子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G.若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H的交H是G的一個子群。
極大子群
極大子群是一種重要的子群。即在包含的意義下極大的真子群。它是群G的真子群H，且G與H之間無G的其他真子群。若H是群G的真子群，並且，對於G的真子群K，由H≤K得出K=H，則稱H是G的極大子群。
置換群
置換群是指由置換組成的群。n元集合Ω={a，a，…，a}到它自身的一個一一映射，稱為Ω上的一個置換或n元置換。
有限群在其形成時期幾乎完全在置換群的形式下進行研究，拉格朗日和魯菲尼的工作更具代表性。1770年拉格朗日在他的關於方程可解性的著作里，引進了n個根的一些函式進行研究，開創了置換群的子群的研究，得到“子群的階整除群的階”這一重要結果。魯菲尼在1799年的專著《方程的一般理論》中，對置換群進行了詳細的考察，引進了群的傳遞性和本原性等概念。在拉格朗日和魯菲尼工作的影響下，柯西發表了關於置換群的重要文章(1815)。他以方程論為背景，證明了不存在n個字母(n次)的群，使得它對n個字母的整個對稱群的指數小於不超過n的最大素數，除非這個指數是2或1。伽羅瓦對置換群的理論做出了最重要的貢獻，他引進了正規子群、兩個群同構、單群與合成群等概念，發展了置換群的理論。可惜他的工作沒有及時為數學界所了解。柯西在1844—1846年間，寫了一大批文章全力研究置換群。他把許多已有的結果系統化，證明了伽羅瓦的斷言：每個有限(置換)群，如果它的階可被一個素數p除盡，就必定至少包含一個p階子群。他還研究了n個字母的函式在字母交換下所能取的形式值(即非數字值)，並找出一個函式，使其取給定數目的值。
置換群的理論(主要指伽羅瓦的工作)在1870年由若爾當整理在他的《置換與代數方程》之中，他本人還發展了置換群理論及其套用。
傳遞置換群
傳遞群有更強的傳遞性質的置換群.設k是一個自然數，而G是Ω上的一個置換群，且|Ω|≥k。若對Ω的任意兩個有序k元子集{α，α，…，α}和{β，β，…，β}，都可找到一個元素g∈G，使得α=β，α=β，…，α=β，則稱G在Ω上是k重傳遞的；或簡單地稱，G在Ω上是k傳遞的。由這個定義，1重傳遞群就是通常所稱的傳遞群，2重傳遞群稱為雙傳遞群。一般地，若k≥1，一切k+1重傳遞群都是k重傳遞群。S是惟一的n次n重傳遞群，而A是n次的n-2重傳遞群。還可推出：當k≥2時，G在Ω上是k重傳遞的若且唯若G在Ω上是傳遞的並且對任意α∈Ω，穩定子群G在Ω\{α}上是k-1重傳遞的。由此可知，若G是Ω上的k重傳遞群而|Ω|=n，則G的階是n(n-1)…(n-k+1)的倍數。若k≥2，則一切k重傳遞群都是本原群。人們常把傳遞置換群分作三類加以研究：即二重和二重以上的傳遞群；非二重傳遞的本原群；非本原群。其中二重以上傳遞(即多重傳遞)群的研究一直是置換群理論的引人注意的課題。其背景是，雖然有大量的2重傳遞群和3重傳遞群，但除去S和A外，人們從未發現任何一個6重傳遞群，而4重傳遞群只知道有4個，馬蒂厄群M，M，M，M，其中M，M是5重傳遞的。利用有限單群分類定理，已經決定出全部的2重傳遞群。由此也證實了上述四個馬蒂厄群是A，S以外的全部4重傳遞群。
