基本概念
1.1.基本概念
1.1.1 隨機變數 、 隨機函式與隨機過程
一變數x，能隨機地取數據（但不能準確地預言它取何值），而對於每一個數值或某一個範圍內的值有一定的機率，那么稱x為隨機變數。
假定隨機變數的可能值xi發生機率為Pi，即P(x = xi) = Pi，對於xi的所有n個可能值，有離散型隨機變數分布列： ∑Pi = 1 對於連續型隨機變數，有 ∫P(x)dx = 1
在試驗過程中，隨機變數可能隨某一參數（不一定是時間）的變化而變化.
如測量大氣中空氣溫度變化x = x(h),隨高度變化。這種隨參變數而變化的隨機變數稱為隨機函式。而以時間t作參變數的隨機函式稱為隨機過程。也就是說：隨機過程是這樣一個函式，在每次試驗結果中，它以一定的機率取某一個確定的，但預先未知的時間函式。
1.1.2 馬爾科夫過程
隨機過程中，有一類具有“無後效性性質”，即當隨機過程在某一時刻to所處的狀態已知的條件下，過程在時刻t>to時所處的狀態只和to時刻有關，而與to以前的狀態無關，則這種隨機過程稱為馬爾科夫過程。 即是：ito為確知,it(t>to)只與ito有關，這種性質為無後效性，又叫馬爾科夫假設。
簡例：設x(t)為大米在糧倉中t月末的庫存量，則
x(t) = x(t―1)—y(t) +G(t)
x(t)可看作一個馬爾科夫過程。
1.1.3 馬爾科夫鏈
時間和狀態都是離散的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈。例：蛙跳問題
假定池中有N張荷葉，編號為1，2，3,……,N，即蛙跳可能有N個狀態（狀態確知且離散）。青蛙所屬荷葉，為它目前所處的狀態；因此它未來的狀態，只與現在所處狀態有關，而與以前的狀態無關（無後效性成立）
寫成數學表達式為：
P( xt+1 = j | xt = it , xt-1 = it―1,……x1 = i1)
=P( xt+1 = j | xt = it )
定義：Pij = P( xt+1 = j | xt = i)
即在xt = i的條件下，使 xt+1 = j的條件機率，是從 i狀態一步轉移到j狀態的機率，因此它又稱一步狀態轉移機率。由狀態轉移圖，由於共有N個狀態，所以有
1.2 狀態轉移矩陣
1.2. 1 一步狀態轉移矩陣
系統有N個狀態，描述各種狀態下向其他狀態轉移的機率矩陣
P11 P12 …… P1N
定義為 P = P21 P22 …… P2N
: : :
PN1 PN2 …… PNN
這是一個N階方陣，滿足機率矩陣性質
1） Pij ≥ 0,i,j = 1,2, ……, N 非負性性質
2） ∑ Pij = 1 行元素和為1 ,i=1,2,…N
如： W1 = [1/4, 1/4, 1/2, 0] 機率向量
W2 = [1/3, 0, 2/3]
W3 = [1/4, 1/4, 1/4, 1/2] 非機率向量
W4 = [1/3, 1/3, -1/3,0, 2/3]
3）若A和B分別為機率矩陣時，則AB為機率矩陣。
1.2.2 穩定性假設
若系統的一步狀態轉移機率不隨時間變化，即轉移矩陣在各個時刻都相同，稱該系統是穩定的。這個假設稱為穩定性假設。蛙跳問題屬於此類，後面的討論均假定滿足穩定性條件。
1.2.3 k步狀態轉移矩陣
經過k步轉移由狀態i轉移到狀態j的機率記為
P(xt+k =j | xt = i) = Pij(k)
i,j = 1,2, ……, N
定義：k步狀態轉移矩陣為：
P11(k) P12(k) …… P1N(k)
P [k] = : : :
PN1(k) PN2(k) …… PNN (k)
當系統滿足穩定性假設時
P[k] = Pk = P· P· …… P
其中P為一步狀態轉移矩陣。
即當系統滿足穩定性假設時，k步狀態轉移矩陣為一步狀態轉移矩陣的k次方.
例：設系統狀態為N = 3，求從狀態1轉移到狀態2的
二步狀態轉移機率.
解：作狀態轉移圖
解法一：由狀態轉移圖：
1—— 1—— 2: P11 · P12
1—— 2—— 2: P12 · P22
1—— 3—— 2: P13 · P32
P12 = P11 · P12 + P12 · P22 +P13 · P32
=∑ P1i · Pi2
解法二： k = 2, N = 3
P11(2) P12 (2) P13(2)
P = P21(2) P22 (2) P23(2)
P31(2) P32(2) P33(2)
P11 P12 P13 P11 P12 P13
= P·P = P21 P22 P23 P21 P22 P23
P31 P32 P33 P31 P32 P33
得： P12(2) = P11 · P12 + P12 · P22 +P13 · P32
=∑ P1i · Pi2
套用
1.3 穩態機率：用於解決長期趨勢預測問題
即：當轉移步數的不斷增加時，轉移機率矩陣 P 的變化趨勢。
1.3. 1 正規機率矩陣。
定義：若一個機率矩陣P，存在著某一個正整數m,使P 的所有元素均為正數（Pij >o），則該矩陣稱為正規機率矩陣
例： 1/2 1/4 1/4
P = 1/3 1/3 1/3 為正規機率矩陣
2/5 1/5 2/5
0 1 P11 = 0
P=
1/2 1/2 1/2 1/2
但當 m = 2， 有 P2= 1/4 1/4 有Pij >0
它也是正規機率矩陣。（P2 每個元素均為正數）
1 0
但 P= 就找不到一個正數m,使P 的每一個元素均大於0，所以它
0 1 不是正規機率矩陣。
1.3.2 固定機率向量（特徵機率向量）
設 P為NN機率矩陣,若U = [U1, U2,…, UN]為機率向量,且滿足UP = U,稱U為P的固定機率向量
例 0 1
P=
1/2 1/2 為機率矩陣
P的固定機率向量 U = [ 1/3 , 2/3]
檢驗 UP = [1/3 2/3] 0 1
1/2 1/2
=[1/3 2/3]
1.3.3 正規機率矩陣的性質
（1）設P為NXN正規機率矩陣，則
A .P有且只有一個固定機率向量
U = [U1,U2, …… UN]
且U的所有元素均為正數 Ui > 0
B.NXN方陣P的各次方組成序列 P, P, P, …… ,P 趨於方陣T，且T的每一個行向量都是固定機率向量U。
即 U1 U2 …… UN U
lim Pk= T = : : : = :
U1 U2 …… UN U
這個方陣T稱穩態機率矩陣。
這個定理說明：無論系統現在處於何種狀態，在經過足夠多的狀態轉移之後，均達到一個穩態。因此，欲求長期轉移機率矩陣，即進行長期狀態預測，只要求出穩態機率矩陣T；而T的每個行向量都是固定機率向量，所以只須求出固定機率向量U就行了 !
（2）設X為任意機率向量，則XT = U
即任意機率向量與穩態機率矩陣之點積為固定機率向量。
事實上： U1 U2 …… UN
XT = X· : : : = [U1∑Xi U1∑Xi …… U1∑Xi ]
U1 U2 …… UN
= [U1 U2 …… UN ]
= U
例：若 0.4 0.3 0.3
P = 0.6 0.3 0.1 求T
0.6 0.1 0.3
解：設 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3
即 -0.2U1 + 0.6 = U1 → U1 = 0.5
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2 → U2 = 0.25
-0.2U2 + 0.3 = U3 → U3 = 0.25
∴ U = [0.5 0.25 0.25]
0.5 0.25 0.25
則 T = 0.5 0.25 0.25
0.5 0.25 0.25
說明
不管系統的初始狀態如何，當系統運行時間較長時，轉移到各個狀態的機率都相等。（列向量各元素相等）
即 各狀態轉移到1狀態都為0.5;
2狀態都為0.25 ;
3狀態都為0.25
1.2市場占有率預測
1.2.1短期市場占有率預測
商品在市場上參與競爭，都擁有顧客，並由此而產生銷售，事實上，同一商品在某一地區所有的N個商家（或不同品牌的N個同類產品）都擁有各自的顧客，產生各自銷售額，於是產生了市場占有率定義：
設某一確定市場某商品有N個不同品牌（或N個商家）投入銷售，第i個商家在第j期的市場占有率
Si(j) = xi(j)/x i =1,2, …… N
其中 xi(j)為第i個商家在第j期的銷售額（或擁有顧客數）
x為同類產品在市場上總銷售額（或顧客數）
市場占有率所需數據可通過顧客抽樣調查得到。
一般地,首先考慮初始條件,設當前狀態（即j = 0 ）
為 S(0) = [S1(0) S2(0) …… SN(0)]
第i個商家 Si(0) = xi(0)/x → xi(0) = Si(0) x
即當前第i個商家市場占有率與初始市場占有率及市場總量有關.
同時假定滿足無後效性及穩定性假設.
由於銷售商品的流通性質,有第i個商家第j期銷售狀況為
xi(k) = x1(0)P1i(k) + x2(0)P2i(k)+ ……+ xN(0)PNi(k)
= xS1(0)P1i(k) +xS2(0)P2i(k) + ……+ xSN(0)PNi(k)
P1i(k)
= x[S1(0) S2(0) ……SN(0)] P2i(k)
:
PNi(k)
有：Si(k) = xi(k)/x P1i(k)
= [S1(0) S2(0) ……SN(0)] P2i(k)
:
PNi(k)
故可用矩陣式表達所有狀態:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P
即 S(k) = S(0) P
當滿足穩定性假設時,有
S(k) = S(0) P
這個公式稱為已知初始狀態條件下的市場占有率k步預測模型.
例:東南亞各國味素市場占有率預測,
初期工作:
a)行銷上海,日本,香港味素,確定狀態1,2,3.
b)市場調查,求得目前狀況,即初始分布
c)調查流動狀況;上月轉本月情況,求出一步狀態轉移機率.
1)初始向量:
設 上海味素狀況為1;
日本味素狀況為2;
香港味素狀況為3;
有 S(0) = [S1(0) S2(0) S3(0)] = [0.4 0.3 0.3]
2)確定一步狀態轉移矩陣
P11 P12 P13 0.4 0.3 0.3
P = P21 P22 P23 = 0.6 0.3 0.1
P31 P32 P33 0.6 0.1 0.3
3)3 步狀態轉移矩陣(假定要預測3個月後)
P11(3) P12(3) P13(3) 0.496 0.252 0.252
P 3= P21(3) P22(3) P23(3) = P 3= 0.504 0.252 0.244
P31(3) P32(3) P33(3) 0.504 0.244 0.252
4)預測三個月後市場
0.496 0.252 0.252
S(3) = S(0)P3 =[0.4 0.3 0.3] 0.504 0.252 0.244
0.504 0.244 0.252
S1(3) = 0.4×0.496 +0.3×0.504 + 0.3×0.504 = 0.5008
S2(3) = 0.2496 S3(3) = 0.2496
1.2.2 長期市場占有率預測
這是求當 k →∞ 時 S(k) → ?
我們知道: S(k) = S(0) P[k]
lim S(k) = S(0) lim P[k] = S(0)·T = U
因此,在已知初始條件下求長期市場占有率就是求穩態機率矩陣,也是求固定機率向量.
求固定機率向量的方法,我們在前一節已有例子,只不過說明了長期市場占有率也是只與穩態矩陣有關,與初始條件無關.
