中國餘數定理

這個故事中所說的韓信點兵的計算方法，就是現在被稱為“中國剩餘定理”的一次同餘式解法。 最早提出並記敘這個數學問題的，是南北朝時期的數學著作《孫子算經》中的“物不知數”題目。 ）直到此時，由《孫子算經》“物不知數”題開創的一次同餘式問

中國餘數定理，也稱中國剩餘定理，孫子剩餘定理。
從《孫子算經》到秦九韶《數書九章》對一次同餘式問題的研究成果，在１９世紀中期開始受到西方數學界的重視。１８５２年，英國傳教士偉烈亞力向歐洲介紹了 《孫子算經》的“物不知數”題和秦九韶的“大衍求一術”；１８７６年，德國人馬蒂生指出，中國的這一解法與西方１９世紀高斯《算術探究》中關於一次同餘式 組的解法完全一致。從此，中國古代數學的這一創造逐漸受到世界學者的矚目，並在西方數學史著作中正式被稱為“中國剩餘定理”。
在中國數學史上，廣泛流傳著一個“韓信點兵”的故事：
韓信是漢高祖劉邦手下的大將，他英勇善戰，智謀超群，為漢朝的建立了卓絕的功勞。據說韓信的數學水平也非常高超，他在點兵的時候，為了保住軍事機密，不讓 敵人知道自己部隊的實力，先令士兵從1至3報數，然後記下最後一個士兵所報之數；再令士兵從１至５報數，也記下最後一個士兵所報之數；最後令士兵從1至7 報數，又記下最後一個士兵所報之數；這樣，他很快就算出了自己部隊士兵的總人數，而敵人則始終無法弄清他的部隊究竟有多少名士兵。
這個故事中所說的韓信點兵的計算方法，就是現在被稱為“中國剩餘定理”的一次同餘式解法。它是中國古代數學家的一項重大創造，在世界數學史上具有重要的地位。
最早提出並記敘這個數學問題的，是南北朝時期的數學著作《孫子算經》中的“物不知數”題目。這道“物不知數”的題目是這樣的：
“今有一些物不知其數量。如果三個三個地去數它，則最後還剩二個；如果五個五個地去數它，則最後還剩三個；如果七個七個地去數它，則最後也剩二個。問：這些物一共有多少？”
用簡練的數學語言來表述就是：求這樣一個數，使它被３除余２，被５除余３，被７除余２。《孫子算經》給出了這道題目的解法和答案，用算式表示即為：
用現代的數學術語來說，這幅“開方作法本源圖”實際上是一個指數為正整數的二項式定理係數表。稍懂代數的讀者都知道： 《孫子算經》實際上是給出了這類一次同餘式組 的一般解：
其中70、21、15和105這四個數是關鍵，所以後來的數學家把這種解法編成了如下的一首詩歌以便於記誦：
“三人同行七十（７０）稀，
五樹梅花二一（２１）枝。
七子團圓正半月（１５），
除百零五（１０５）便得知。”
《孫子算經》的“物不知數”題雖然開創了一次同餘式研究的先河，但由於題目比較簡單，甚至用試猜的方法也能求得，所以尚沒有上升到一套完整的計算程式和理論的高度。真正從完整的計算程式和理論上解決這個問題的，是南宋時期的數學家秦九韶。秦
九韶在他的《數書九章》（見圖１一７一１）中提出了一個數學方法“大衍求一術”，系統地論述了一次同餘式組解法的基本原理和一般程式。
秦九韶為什麼要把他的這一套計算程式和基本原理稱為“大衍求一術”呢？這是因為其計算程式的核心問題是要“求一”。所謂“求一”，通俗他說，就是求“一個 數的多少倍除以另一個數，所得的餘數為一”。那么為什麼要“求一”呢？我們可以從“物不知數”題的幾個關鍵數字７０、２１、１５中找到如下的規律：
圖1-7-1 文瀾閣四庫全書本《數書九章》書影
其中70是5和7的倍數，但被3除餘1；21是3和7的倍數，但被5除餘1；15是3和5的倍數，但被7除餘1，任何一個一次同餘式組，只要根據這個規律 求出那幾個關鍵數字，那么這個一次同餘式組就不難解出了。為此，秦九韶提出了乘率、定數、衍母、衍數等一系列數學概念，並詳細敘述了“大衍求一術”的完整 過程。（由於解法過於繁細，我們在這裡就不展開敘述了，有興趣的讀者可進一步參閱有關書籍。）直到此時，由《孫子算經》“物不知數”題開創的一次同餘式問 題，才真正得到了一個普遍的解法，才真正上升到了“中國剩餘定理”的高度。