非線性板殼理論正文
板殼理論研究板和殼體的靜力平衡、屈曲、動力和動力穩定四類問題，可根據描述問題的方程的性質分為線性板殼理論和非線性板殼理論。19世紀末，在英國學者瑞利的影響下，絕大部分力學家都只研究板殼理論的線性問題，即略去方程、邊界條件和初始條件中未知量的非線性項的問題。這種數學上的簡化使大量板問題獲得解決，為工業生產提供了有效的設計基礎。至今線性板殼理論仍起著重要作用。但如果載荷較大，板殼變形較大，則線性理論就完全不適用。例如20世紀30年代在圓柱薄殼穩定性問題的研究中，實驗值低於線性理論值約75％。在現代工業（如航海、航空、航天、儀表工業）中，一方面，由於技術的需要，大量使用能產生大變形的柔韌板和柔韌殼，這類結構形式會引出非線性的載荷-變形關係；另一方面,多種輕型結構採用的新材料本身具有複雜的非線性應力-應變關係,使得板殼理論不得不考慮非線性因素。
非線性板殼理論研究兩方面問題：幾何非線性問題和物理非線性問題。在幾何非線性問題中，應變分量和位移分量的關係（即幾何關係）包含位移分量導數的二階微量，是非線性的；另外，平衡方程應根據變形後板殼的幾何形狀導出，因而引出非線性項。物理非線性問題完全是由非線性的應力- 應變關係引起的。非線性板殼理論主要處理幾何非線性問題。
第一個研究薄板非線性彎曲理論的是T.von卡門,他在20世紀初建立了薄板大撓度方程組。以後的工作主要是從這個方程組求得簡便而又實用的解。卡門和中國學者錢學森在1939年發現：薄殼失穩的臨界載荷低於用線性理論求得的值，並且指出必須用幾何非線性理論來處理這個問題，從此出現了非線性穩定理論。J.L.辛格和中國學者錢偉長於1940年用張量工具建立了彈性薄板和彈性薄殼的內稟理論。根據這個理論，錢偉長於1943年從分析應變和薄殼曲率的量級入手，對這種內稟理論的各個方程進行不同近似程度的分類，其中有不少是反映幾何非線性理論的統一的薄殼方程組，後來被人稱為錢偉長方程組。這個方程組對卡門和錢學森所用方程組作了修正，既適用於薄板又適用於各種形式的薄殼。
在非線性板殼理論的方程組確定以後，尋求有效而又簡單的求解方法就成為非線性板殼理論的主要研究內容。這方面的研究首先集中於若干簡單的典型問題，包括圓薄板的大撓度問題、圓底扁薄球殼的往復跳躍問題和圓柱殼在軸向壓力下的失穩問題。錢偉長於1947年採用以中心位移和厚度之比作為參量的攝動解法求解了圓板大撓度問題，1948年又用奇異攝動方法求解了固定圓板的極大撓度的問題。這些方法的出現，使得求解某些非線性方程的繁複工作成為可能。這些是國際上最早用系統攝動法成功地處理非線性方程的工作，這種方法至今被國際上某些學者所套用，並稱之為“錢偉長法”。
在計算方面，中國學者於60年代提出了修正疊代法和解析- 電算法。修正疊代法和一般疊代法的不同在於，一般疊代法以載荷為參量，而修正疊代法則可採用載荷以外的其他參量，便於改善解的收斂性。因此，在處理某些非線性方程時,修正疊代法有一定的優越性。解析-電算法則能使工作量大為減少並得到所需精度的解。
自從電子計算機問世以來，各種近似數值解法（如有限元法）有很大發展，解決了許多實際問題，不過在非線性板殼理論方面，成效不大，有待進一步發展和完善。
扁球殼往復跳躍問題是一種實用控制元件的理論問題，它是錢偉長在1950年提出來的。它和圓柱薄殼在軸壓下失穩問題是同一類薄殼非線性穩定問題。對這兩個典型而有實用意義的非線性殼體問題，在最近三十年來有不少實驗研究並積累了大量的實驗數據，但理論計算結果並不理想，迄未求得和實驗數據接近的理論結果。
目前，動力非線性板殼問題尚未受到人們的普遍重視。
