殼的計算
正文
一般指封閉或敞開的被兩個幾何曲面所限的物體，在靜力或動力荷載作用下，或在溫差、基礎沉陷等影響下所引起的應力、變形及穩定性等的計算。薄殼結構廣泛套用於各工程技術領域，如建築工程中的各種薄殼屋蓋及薄殼基礎。殼體可按壁厚 h與殼體中面最小主曲率半徑R
之比分為薄膜、薄殼及厚殼（包括中厚殼）三類。h/R≤1/20者稱為薄殼；h/R>1/20者稱為中厚殼或厚殼；h/R極小，抗彎剛度接近於零者稱為薄膜。 薄殼的計算理論有基爾霍夫理論與非基爾霍夫理論。殼的基爾霍夫假設與板的基爾霍夫假設相同，非基爾霍夫殼體理論考慮橫剪下問題較為嚴密。目前，在殼體的工程結構計設中普遍採用基爾霍夫理論進行計算。
薄殼的計算理論與薄殼的中面形狀、構造形式及材料性質有關。薄殼可按中面形狀分為鏇轉殼、球殼、圓柱殼、圓錐殼、雙曲面殼、拋物面殼、橢球殼、環殼、雙曲拋物面殼、扁殼及各類組合殼體等。若按構造形式分，則有光面殼、加肋殼、夾心殼及多層殼等。按材料性質分，則有各向同性殼、各向異性殼、線性彈性殼、非線性彈性殼及粘彈性殼等。對於線性彈性材料的光面殼，其一般計算理論已經可以總結為薄膜理論及彎曲理論二類。儘管彎曲理論迄今尚無公認的統一形式，但總的說來，各種形式的差別不大。對於各種形狀、各種構造的殼體，其計算方法不盡相同。許多加肋殼可折算為各向異性光面殼進行處理；夾心殼及多層殼的理論雖然有一定變化，但仍屬於一般理論的範疇，扁殼理論由於有一些簡化假設，其理論不很複雜，進展較快，已發展到複合材料非線性理論等。
由於各種薄殼形狀各異，故分析薄殼問題時常採用位於薄殼中曲面上的正交曲線坐標系，其方向分別為曲面的最大、最小曲率方向，及曲面的法線方向，一般以0-αβγ表示。
薄殼內力 在荷載或其他外因作用下，薄殼內所產生的內力可按基爾霍夫假設表示如圖所示的10個內力。其中 4個為薄膜內力：Nα、Nβ分別是α及β方向的拉（壓）力，Nαβ、Nβα分別是α及β為常數截面上的α及β方向的切向剪力。另外6個為彎曲內力:Mα、Mβ分別是 α及β為常數的截面上的彎矩，Mαβ、Mβα、Qα、Qβ分別為上述截面上的扭矩及橫剪力。全部內力均按單位長度計。
殼的計算基本方程 薄殼問題的基本方程可歸納為：①靜力平衡微分方程。對於沿正交曲線坐標切割出的一個體素，可建立6個平衡微分方程,其中三個是沿坐標線切向的力的平衡式(或稱投影式)：∑Fα＝0，∑Fβ＝0及∑FΥ＝0。另3個是對3個坐標軸的力矩平衡式:∑Mα=0,∑Mβ＝0，∑MΥ＝0。由於h<<R，可以取Nαβ＝Nβα及Mαβ＝Mβα，因此力矩式中的∑MΥ＝0是一個恆等式,從而在6個平衡方程中,實際上只有5個是有效的。②幾何方程。薄殼中面上任一點的應變與位移之間的關係可通過 6個幾何方程表示。③應變連續性條件。從6個幾何方程中,消去其中的位移分量後可建立 3個應變連續性條件。它們代表為保證殼體變形後仍維持連續性而要求各應變分量間應滿足的關係。④物理方程。共有 6個方程表示內力與應變之間的關係，其中聯繫薄膜內力與薄膜應變的有 3個，聯繫彎曲內力與彎曲變形的有 3個。⑤邊界條件。在薄殼的每一個邊界上有4個邊界條件,其中兩個是關於薄膜的，另兩個是關於彎曲的。
薄殼計算 計算內容包括靜力強度計算、動力及屈曲問題等的計算。其主要解法有解析法及數值計算法。
①靜力強度計算。薄殼靜力強度問題的解析法有位移法、內力法及混合法。(a)位移法。以薄殼中面位移u、v及w為未知函式。若將6個幾何方程代入 6個物理方程，消去其中的應變分量,可得出用3個位移分量表示內力的表達式,然後將這些表達式代入三個消去Q的平衡方程式，即得 3個僅含未知量u、v及w的靜力平衡方程。一般用傅立葉級數展開位移函式代入平衡方程，再考慮邊界條件即可求得位移。(b)內力法。以8個內力為未知函式，通過5個平衡微分方程及3個應變連續性條件求解。在扁殼問題中以應力函式嗘的導數表示薄膜力,以w表示曲率及扭率再表示彎曲內力，即可將 8個方程歸併為兩個只含嗘及w 的方程。進一步消去嗘或w後，可得出一個8階2元的控制微分方程，一般也可用傅立葉級數表示其未知函式求解。(c)混合法。以 8個內力及3個位移為未知函式，通過5個平衡微分方程及6個物理方程求解。也可以象內力法那樣，將這些方程歸併成一個8階2元的控制微分方程求解。
薄殼靜力強度問題的數值計算方法有差分法及有限元法等。用差分法時須將控制微分方程至少降階為兩個4階差分方程再進行計算,否則精確度很差。有限元法將殼體離散為一系列單元後用位移法或混合法進行計算。如果方法運用得恰當，可以保證其計算精度，但計算工作量頗大。
②薄殼的振動問題及屈曲問題。計算方法有平衡方程法以及與變分法有關的近似法，如能量法、伽遼金法等。解算振動問題時，須先假設一個以振型函式表示的薄殼振動時的位移，然後將它引入殼體的運動微分方程式或能量式，並由此求特徵值得其振動頻率。同樣，求解屈曲問題時，須先假設以屈型函式表示的屈曲時的位移，並將它引入殼體屈曲方程式或能量式，求其特徵值得出臨界力。
薄殼的動力回響問題須通過拉格朗日方程或利用哈密頓原理求解。用有限元法時，可以用運動方程的直接積分法或振型疊加法求解。
對於非線性問題，無論是幾何的或物理的非線性問題都可以用有限元法求解。
殼體計算的發展方向是非基爾霍夫假設的薄殼理論，以及中厚殼或厚殼的大變形問題，粘彈、粘塑、熱彈塑等方面的問題。在基礎理論及解算方法方面，亦有待於總結和進一步探索。
