有限元法

Finite Element Method的縮寫，譯為有限單元法，其實際套用中往往被稱為有限元分析（FEA），是一個數值方法解偏微分方程。FEM是一種高效能、常用的計算方法，它將連續體離散化為若干個有限大小的單元體的集合，以求解連續體力學問題。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地套用於以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯繫）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中套用加權餘數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可套用於以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯繫．

介紹

基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。

方法運用的基本步驟

步驟1：剖分

二維格線圖像（格線密度圍繞關注的對象）

將待解區域進行分割，離散成有限個元素的集合．元素（單元）的形狀原則上是任意的．二維問題一般採用三角形單元或矩形單元，三維空間可採用四面體或多面體等．每個單元的頂點稱為節點（或結點）．

步驟2：單元分析

進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函式用該分割單元中形狀函式及離散格線點上的函式值展開，即建立一個線性插值函式

步驟3：求解近似變分方程

用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：桿繫結構的單元是每一個桿件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函式是只包含有限個待定節點參量的簡單場函式，這些單元場函式的集合就能近似代表整個連續體的場函式。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。有限元法已被用於求解線性和非線性問題，並建立了各種有限元模型，如協調、不協調、混合、雜交、擬協調元等。有限元法十分有效、通用性強、套用廣泛，已有許多大型或專用程式系統供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用於計算機輔助製造中。

有限單元法最早可上溯到20世紀40年代。Courant第一次套用定義在三角區域上的分片連續函式和最小位能原理來求解St.Venant扭轉問題。現代有限單元法的第一個成功的嘗試是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飛機結構時，將鋼架位移法推廣套用於彈性力學平面問題，給出了用三角形單元求得平面應力問題的正確答案。1960年，Clough進一步處理了平面彈性問題，並第一次提出了"有限單元法"，使人們認識到它的功效。我國著名力學家，教育家徐芝綸院士（河海大學教授）首次將有限元法引入我國，對它的套用起了很大的推動作用。