邊界層方程數值解法

邊界層方程數值解法

邊界層理論是德國L.普朗特在20世紀初建立起來的。當流體流經物體表面時,靠近壁面邊界很薄的一層,粘性效應很重要。利用粘性邊界層很薄的特點,可以把流體力學運動方程(即納維-斯托克斯方程)中量級較小的各項忽略掉,簡化成為邊界層方程。邊界層理論為粘性流體力學的套用開闢了廣闊的道路,在近代力學中起著重要的作用。

正文

以平面問題為例:定常二維不可壓縮流的邊界層方程組,由一個連續性方程和兩個動量方程組成,即 式中u、v為沿著x、y方向上的速度分量;p、ρ和v分別表示壓力、密度和運動粘性係數。邊界條件要求在不滲透的固體表面上,兩個速度分量為零。在邊界層外緣,u漸近地等於外緣速度ue(x),所以有:

邊界層方程數值解法(2)

另外,還要給定壓力梯度дp/дx。由於式(1c)中的壓力p只是x的函式,它與外緣速度之間的關係為:

方程組(1)是非線性偏微分方程組,求解很困難,一般需用數值方法,這裡主要介紹相似性解法和差分解法。
相似性解法 其要點是引進無量綱相似參數,將偏微分方程轉換成常微分方程,然後再用數值方法求解。德國Н.布拉西烏斯在1907年首次用此法解壓力為常數的平板繞流問題。在連續性方程中引進流函式Ψ,即u=дΨ/дy,v=-дΨ/дx,並定義一個相似參數邊界層方程數值解法同時令邊界層方程數值解法f(η) 為無量綱的流函式。速度分量u、v及其導數дu/дy和д2u/дy2均可以從Ψ 求出,而且都可以用函式 f(η)及其高階導數表示。最後,原方程組(1)變成一個三階常微分方程:

f+ff″=0, (3)

對應於邊界條件(2), 要求f(0)=f′(0)=0,f′(∞)=1。這是兩點邊值問題。一般的作法是先假設f″(0)=α, 從η=0的地方對方程(3)進行數值積分。當η→∞時,要求f′(η)→1。如果條件不能滿足,必須更改 α的初值,反覆疊代到滿足 f′(∞)=1的條件為止。但通過變數的轉換,也可將這個兩點邊值問題換成初值問題,求解時不需要反覆疊代。令ζ=α1/3η,α仍然代表f″(0);再令f(η)=α1/3F(ζ),則f′(η)=α2/3F′(ζ),f″(η)=αF″(ζ),f冺(η)=α4/3F冺(ζ)。代入方程式(3),得到一個同樣形式的方程:
F冺(ζ)+F(ζ)F″(ζ)=0,(4)
但邊界條件有些不同,變成F(0)=F′(0)=0,F″(0)=1三個初始條件,正好用數值積分直接求F(ζ),而後利用f′(∞)=1=α2/3F′(∞)求α,即

邊界層方程數值解法(5)

方程(4)的具體解法, 是把它改為三個一階常微分方程,令F的一階導數為G,二階導數為H,則有:
F′=G,G′=H,H′+FH=0, (6)
F、G、H為三個未知變數,相應的初始條件為:F(0)=0,G(0)=0,H(0)=1。這組一階常微分方程可用一般的數值積分法求解。
差分解法 這種解法是將微分算符近似地用差商代替,把微分方程改為差分方程然後再求解。在有壓力梯度的流動中,相似條件不能滿足。用前面相同的坐標變換,即但此處應令由於相似性假設不適用,流函式f是ξ、η的函式。通過坐標轉換,方程(1b)變為: 

,(7)

式中 f′、f″、f冺 均為 η 的導數;f 為 ξ 的導數;為壓力梯度參數。差分-微分方程是將上式的 ξ導數項改用差分形式,而在η方向仍保持微分形式。這樣,方程(7)變成在 η 方向上的常微分方程,具有在η=0,η=∞的兩點邊界條件,可用疊代法求解。近來,人們直接將邊界層方程的所有偏導數均用差分表示。這類差分法的格式很多(見有限差分方法),現以凱勒的差分格式為例。 此法首先將原方程〔如方程(7)〕改寫成幾個一階偏微分方程組,而後將所有一階導數均用中心差分,給出具有二階精度的差分方法。現將 f(ξ,η)對 η的一階導數用 g(ξ,η)表示,二階導數用h(ξ,η)表示。方程(7)可改為:
  (8a)

。 (8b)

上兩式均在點上取值,它們的差分方程為:
(9a)

(9b)

方程(8b)則在點上取值,如
 
 
 
  在這些式子中,還有一些非線性項,如g,(fh)i+1,須進行線性化,如果把gi+1和gi的差值看作小量,並忽略小量二階以上的項,即得出線性化關係式:
  將以上各式代入(8b),即可得出在i+1截面上的線性差分方程。連同(9a)和(9b)一起,並結合相應的邊界條件,便可聯立求解三個未知量f、g和h。從f即可求流函式Ψ,從而可計算出兩個速度分量u和v。

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