例子
隱函式定理
隱函式定理定義函式 ，那么方程 的所有解的集合構成單位圓。
隱函式定理
隱函式定理
隱函式定理
隱函式定理（ ）。圓上的點是無法用統一的方法表示成 的形式的，因為每個 都有兩個 y的值與之對應，即 。
隱函式定理
隱函式定理
隱函式定理然而，局部地用 x來表示y是可以的。給定圓上一點 ，如果y>0，也就是說這點在圓的上半部分的話，在這一點附近y可以寫成關於x的函式： 。如果y<0，附近的y也可以寫成關於x的函式： 。
但是，在點(1,0)的附近，y無法寫成關於x的函式，因為(1,0)的每一個鄰域中都包含了上半圓和下半圓的點，於是對於附近的每一個x，都有兩個 y的值與之對應。
定理的敘述
設 f: R→ R為一個連續可微函式。這裡 R被看作是兩個空間的直積： R× R，於是 R中的一個元素寫成 ( x, y)=( x,..., x, y,..., y)的形式。
對於任意一點( a, b)=( a,..., a, b,..., b)使得 f( a, b)=0，隱函式定理給出了能否在( a, b)附近定義一個 y關於 x的函式 g，使得只要： f( x, y)=0，就有 y= g( x)的充分條件。這樣的函式 g存在的話，嚴格來說，就是說存在 a和 b的鄰域 U和 V，使得 g的定義域是： g: U→ V，並且 g的函式圖像滿足：
隱函式定理隱函式定理說明，要使的這樣的函式 g存在，函式f的雅可比矩陣一定要滿足一定的性質。對於給定的一點 ( a, b)， f的雅可比矩陣寫作：
隱函式定理其中的矩陣X是 f關於 x的偏微分，而Y是f關於y的偏微分。隱函式定理說明了：如果Y是一個可逆的矩陣的話，那么滿足前面性質的U、 V和函式 g就會存在。概括地寫出來，就是：
設 f: R→ R為連續可微函式，並令 R中的坐標記為 ( x, y)。給定一點 ( a,..., a, b,..., b)=( a,b)使得 f( a, b)= c，其中 c∈ R。如果矩陣[(∂ f/∂ y)(a,b)]是可逆矩陣的話，那么存在 a的鄰域 U、 b的鄰域 V以及同樣是連續可微的函式 g: U→ V，滿足
隱函式定理一般情形
設 E、E和F是三個巴拿赫空間，而U、V分別是E、E上的兩個開集。設函式：
隱函式定理
隱函式定理
隱函式定理
隱函式定理是一個C 的函式（見光滑函式），其中 ，並且對於 中的一點 ，滿足：
隱函式定理那么有如下結論：
隱函式定理
隱函式定理
隱函式定理
隱函式定理存在 的鄰域以及 的鄰域；
隱函式定理
隱函式定理
隱函式定理
隱函式定理存在一個 的函式： ，使得對任意 ，只要 f(x,y)=0，就有 。
