定理描述
定點定理（fixed-point theorem）：
對應於一個定義於集合到其自身上的映射 而言，所謂定點，是指經過該映射保持“不變 的”點。定點定理是用於判斷一個函式是否存 在定點的定理。常用的定點定理有：
(1)布勞威爾定點定理(1910年)：若A⊂R(N維實數集合)且A為非空、緊凸集，f： A→A是一個從A到A的連續函式，則該函式 f(·)有一個定點，即存在x∈A，x=f(x)。
該定理常被用於證明競爭性均衡的存在性。
(2)角谷(kakutani)定點定理(1941年)： 若A⊂R且A為非空、緊凸集，f ： A→A是從 A到A的一個上半連續對應，且f(x)⊂A對於 任意x∈A是一個非空的凸集，則f(·)存在一 個定點。
定點定理一般只給出解的存在性判斷， 至於如何求解，則需要用到20世紀60年代末 斯卡夫(H.E.Scarf)提出的定點算法。因此， 定點定理常被用於解決經濟模型中出現的存 在性問題，例如多人非合作對策中均衡點的存 在性等。
定義
設(A，d)為完備的度量空間，f為從A到其自身中的李普希茨映射。如果李普希茨比的級數λ(fn)收斂，則存在A的僅有的點a，在f下該點不動。 其次，對A的任一元素x0，由遞推關係：
定義的級數(xn)必收斂於a。
這一定理尤其適用於f為壓縮映射的情況。 利用所謂逐次逼近法，定點定理是證明隱式方程、常微分方程和積分方程解的存在僅有性定理的基礎。
定理啟示
建立布勞威爾定點定理是他的突出貢獻。這個定理表明：在二維球面上，任意映到自身的一一連續映射，必定至少有一個點是不變的。他把這一定理推廣到高維球面。尤其是，在n維球內映到自身的任意連續映射至少有一個定點。在定理證明的過程中，他引進了從一個復形到另一個復形的映射類，以及一個映射的映射度等概念。有了這些概念，他就能第一次處理一個流形上的向量場的奇點。
康托爾揭示了不同的n與空間Rn的一一對應關係．G．皮亞諾(Peano)則實現了把單位線段連續映入正方形．這兩個發現啟示了，在拓撲映射中，維數可能是不變的。1910年，布勞威爾對於任意的n證明了這個猜想——維數的拓撲不變性。在證明過程中，布勞威爾創造了連續拓撲映射的單純逼近的概念，也就是一系列線性映射的逼近．他還創造了映射的拓撲度的概念——一個取決於拓撲映射連續變換的同倫類的數。實踐證明，這些概念在解決重要的不變性問題時非常有用。例如，布勞威爾就藉助它界定了n維區域；J．W．亞歷山大(Alexander)則用它證明了貝蒂數的不變性。
這些都是定點定理的一種延伸。
發展簡史
布勞威爾定點定理是代數拓撲的早期成就，還是更多更一般的定點定理的基礎，在泛函分析中尤其重要。在1904年，首先由Piers Bohl 證明n = 3 的情況（發表於《純綷及套用數學期刊》之內）。後來在1909年，魯伊茲·布勞威爾（L. E. J. Brouwer）再次證明。在1910年，雅克·阿達馬提供一般情況的證明，而布勞威爾在1912年提出另一個不同的證明。這些早期的證明皆屬於非構造性的間接證明，與數學直覺主義理想矛盾。已知如何構造（接近）由布勞威爾定點定理所保證的定點。
套用標準
定點定理給出一個一般的標準，如果條件滿足，疊代函式的過程產生一個固定點。
相比之下，定點定理是一個非建設性的結果：它表示從n維歐幾里德空間中的封閉單位球到自身的任何連續函式都必須有一個固定點，但是沒有描述如何找到固定點（參見Sperner的引理）。
例如，餘弦函式在[-1,1]中是連續的，並將其映射成[-1,1]，因此必須有一個固定點。當檢查餘弦函式的草繪圖時，這是很清楚的;發生固定點，其中餘弦曲線y = cos（x）與線y = x相交。在數值上，固定點大約為x = 0.73908513321516（因此x = cos（x））。
代數拓撲中的Lefschetz定點定理（和Nielsen定點定理）是顯著的，因為它在某種意義上給出了一種計數固定點的方法。
對定點定理進行了一些推廣;這些都適用於PDE理論。參見無限維空間中的定點定理。
分形壓縮中的拼貼定理證明，對於許多圖像，存在對疊代套用於任何起始圖像時快速收斂在所需圖像上的函式的相對較小的描述。
學科套用
Knaster-Tarski定理指出，完整格子上的任何維持秩序的函式都有一個固定點，實際上是一個最小的固定點。
定理在抽象解釋中有套用，這是靜態程式分析的一種形式。
lambda演算中的常見主題是找到給定的lambda表達式的固定點。每個lambda表達式都有一個固定點，而一個定點組合器是一個“函式”，它將lambda表達式作為輸入，並產生該表達式的固定點。一個重要的定點組合器是用於給出遞歸定義的Y組合器。
在程式語言的指稱語義中，使用Knaster-Tarski定理的特殊情況來建立遞歸定義的語義。雖然定點定理被套用於“相同”的功能（從邏輯的角度來看），理論的發展是完全不同的。
在可計算性理論中，可以通過套用Kleene遞歸定理給出遞歸函式的相同定義。這些結果不是等價的定理；Knaster-Tarski定理比指稱語義中使用的定理強得多。然而，鑒於Church-Turing論文，他們的直觀含義是相同的：遞歸函式可以被描述為功能的函式映射函式的最小固定點。
上述疊代函式找到固定點的技術也可以在集合理論中使用；正常功能的定點引理指出，從序數到序數的任何連續的嚴格增加的函式都有一個（甚至很多）固定點。
每個封閉操作員都有很多固定點；這些是關閉操作符的“封閉元素”，它們是閉包運算符首先定義的主要原因。
在有奇數個元素的有限集上的每個卷積都有一個固定點；更一般地，對於有限元素集合上的每個卷積，元素的數量和固定點的數量具有相同的奇偶性。唐·薩吉爾（Don Zagier）使用這些觀察結果，給出了兩個平方和的Fermat定理的一個句子證明，通過在同一組三元組中描述兩個漸近，其中一個可以很容易地顯示出只有一個固定點，另一個對於給定素數（與1模4相等）的每個表示具有兩個正方形的和的固定點。由於第一次卷積具有奇數個固定點，因此第二次也存在所需形式的表示。
套用舉例
這個定理可以通過很實際的例子來理解。比如：取兩張一樣大小的白紙，在上面畫好垂直的坐標系以及縱橫的方格。將一張紙平鋪在桌面，而另外一張隨意揉成一個形狀（但不能撕裂），放在第一張白紙之上，不超出第一張的邊界。那么第二張紙上一定有一點正好就在第一張紙的對應點的正上方。一個更簡單的說法是：將一張白紙平鋪在桌面上，再將它揉成一團（不撕裂），放在原來白紙所在的地方，那么只要它不超出原來白紙平鋪時的邊界，那么白紙上一定有一點在水平方向上沒有移動過。
這個斷言的根據就是布勞威爾定點定理在二維歐幾里得空間（歐幾里得平面）的情況，因為把紙揉皺是一個連續的變換過程。
另一個例子是大商場等地方可以看到的平面地圖，上面標有“您在此處”的紅點。如果標註足夠精確，那么這個點就是把實際地形射到地圖的連續函式的定點。
地球繞著它的自轉軸自轉。自轉軸在自轉過程中是不變的，也就是自轉運動的定點。
