基本概念
不動點定理不動點定理fixed-point theorem
如果f 是n+1維實心球Bn+1={x∈R n+1|x|≤1}到自身的連續映射（n=1，2，3…），則f 存在一個不動點x∈Bn+1（即滿足f（x0）=x0）。此定理是L.E.J.布勞威爾在1911年證明的。不動點問題實際上就是各種各樣的方程（如代數方程、微分方程、積分方程等 ）的求解問題 ，在數學上非常重要，也有很多的實際套用。
定理啟示
建立布勞威爾不動點定理是他的突出貢獻．這個定理表明：在二維球面上，任意映到自身的一一連續映射，必定至少有一個點是不變的．他把這一定理推廣到高維球面．尤其是，在n維球內映到自身的任意連續映射至少有一個不動點．在定理證明的過程中，他引進了從一個復形到另一個復形的映射類，以及一個映射的映射度等概念．有了這些概念，他就能第一次處理一個流形上的向量場的奇點．
康托爾揭示了不同的n與空間Rn的一一對應關係．G．皮亞諾(Peano)則實現了把單位線段連續映入正方形．這兩個發現啟示了，在拓撲映射中，維數可能是不變的．1910年，布勞威爾對於任意的n證明了這個猜想——維數的拓撲不變性．在證明過程中，布勞威爾創造了連續拓撲映射的單純逼近的概念，也就是一系列線性映射的逼近．他還創造了映射的拓撲度的概念——一個取決於拓撲映射連續變換的同倫類的數．實踐證明，這些概念在解決重要的不變性問題時非常有用．例如，布勞威爾就藉助它界定了n維區域；J．W．亞歷山大(Alexander)則用它證明了貝蒂數的不變性．
這些都是不動點定理的一種延伸。
等價形式
不動點理論已經成為非線性分析的重要組成部分，該問題的研究已經在偏微分方程、控制論、經濟平衡理論及對策理論等領域獲得了極為成功的套用。本文首先整合了以往文獻關於不動點定理的一些等價形式，然後在H-空間中建立了新型的不動點定理、截口定理及套用。 全文共分為三章： 第一章，簡要介紹本文將要用到的凸分析，拓撲空間和集值映射中相關的概念和性質。 第二章，整合了不動點定理的一些等價形式。首先，簡單介紹了Brouwer不動點定理的幾個重要的推廣形式，然後通過一系列證明得出不動點定理的若干等價形式：Brouwer不動點定理(?)KKM定理(?)FKKM定理(?)Ky Fan極大極小不等式(?)Browder不動點定理(?)Ky Fan不等式Ⅰ(?)Ky Fan極大極小不等式的幾何形式(?)Ky Fan截口定理(?)Fan-Browder不動點定理(?)Ky Fan不等式Ⅱ。 第三章，首先，介紹了H-空間中一些重要的概念。其次，在H-空間中建立了新的Fan-Browder型不動點定理及其幾種等價形式。
歷史
布勞威爾不動點定理是代數拓撲的早期成就，還是更多更一般的不動點定理的基礎，在泛函分析中尤其重要。在1904年，首先由Piers Bohl 證明n = 3 的情況（發表於《純綷及套用數學期刊》之內）。後來在1909年，魯伊茲·布勞威爾（L. E. J. Brouwer）再次證明。在1910年，雅克·阿達馬提供一般情況的證明，而布勞威爾在1912年提出另一個不同的證明。這些早期的證明皆屬於非構造性的間接證明，與數學直覺主義理想矛盾。現在已知如何構造（接近）由布勞威爾不動點定理所保證的不動點，見例子 (Karamadian 1977) 和 (Istrăţescu 1981)。
示例
這個定理可以通過很實際的例子來理解。比如：取兩張一樣大小的白紙，在上面畫好垂直的坐標系以及縱橫的方格。將一張紙平鋪在桌面，而另外一張隨意揉成一個形狀（但不能撕裂），放在第一張白紙之上，不超出第一張的邊界。那么第二張紙上一定有一點正好就在第一張紙的對應點的正上方。一個更簡單的說法是：將一張白紙平鋪在桌面上，再將它揉成一團（不撕裂），放在原來白紙所在的地方，那么只要它不超出原來白紙平鋪時的邊界，那么白紙上一定有一點在水平方向上沒有移動過。
這個斷言的根據就是布勞威爾不動點定理在二維歐幾里得空間（歐幾里得平面）的情況，因為把紙揉皺是一個連續的變換過程。
另一個例子是大商場等地方可以看到的平面地圖，上面標有“您在此處”的紅點。如果標註足夠精確，那么這個點就是把實際地形射到地圖的連續函式的不動點。
地球繞著它的自轉軸自轉。自轉軸在自轉過程中的不變的，也就是自轉運動的不動點。
理論
克納斯特-塔斯基定理（Knaster–Tarskitheorem）在數學領域序理論和格理論中，克納斯特-塔斯基定理，得名於克納斯特（Bronis?awKnaster）和阿爾弗雷德·塔斯基（AlfredTarski），它聲稱：設L是完全格並設f:L→L是次序保持函式。則f在L中的不動點的集合也是完全格。因為完全格不能是空的，這個定義特別保證f的至少一個不動點的存在，甚至一個“最小”（或“最大”）不動點的存在。在很多實際情況中，這是這個定理最重要的蘊涵。
λ演算（lambdacalculus）是一套用於研究函式定義、函式套用和遞歸的形式系統。它由丘奇（AlonzoChurch）和他的學生克萊尼（StephenColeKleene）在20世紀30年代引入。Church運用λ演算在1936年給出判定性問題（Entscheidungsproblem）的一個否定的答案。這種演算可以用來清晰地定義什麼是一個可計算函式。關於兩個lambda演算表達式是否等價的命題無法通過一個“通用的算法”來解決，這是不可判定性能夠證明的頭一個問題，甚至還在停機問題之先。Lambda演算對函式式程式語言有巨大的影響，比如Lisp語言、ML語言和Haskell語言。Lambda演算可以被稱為最小的通用程式設計語言。它包括一條變換規則（變數替換）和一條函式定義方式，Lambda演算之通用在於，任何一個可計算函式都能用這種形式來表達和求值。因而，它是等價於圖靈機的。儘管如此，Lambda演算強調的是變換規則的運用，而非實現它們的具體機器。可以認為這是一種更接近軟體而非硬體的方式。
邱奇-圖靈論題（TheChurch-Turingthesis）是計算機科學中以數學家阿隆佐·邱奇（AlonzoChurch）和阿蘭·圖靈命名的論題。該論題最基本的觀點表明，所有計算或算法都可以由一台圖靈機來執行。以任何常規程式語言編寫的電腦程式都可以翻譯成一台圖靈機，反之任何一台圖靈機也都可以翻譯成大部分程式語言程式，所以該論題和以下說法等價：常規的程式語言可以足夠有效的來表達任何算法。該論題被普遍假定為真，也被稱為邱奇論題或邱奇猜想和圖靈論題。
其它
克萊尼不動點定理（Kleenefixed-pointtheorem）在數學中，序理論的克萊尼（Kleene）不動點定理聲稱給定任何完全格L和任何連續的（因此單調的）函式
f:L→L
f的最小不動點（lfp）是f的升Kleene鏈的最小上界
