概述
歷史
其實在歷史上，首先是一個希臘數學家“歐多克索斯”首先公布的，早於阿基米德100年。阿基米德本人也在手稿中坦言了這一點，但是遵從傳統，一般稱之為“阿基米德公理（性質）”定義
1：對任一正數c，有自然數n滿足n>c.2：對任一正數ε，有自然數n滿足1/n<ε.
（以上兩種定義方法是等價的，下面有證明其等價的過程）
證明
阿基米德公理（性質）的證明：（反證法）首先，設有由 ε=1/c 關聯的兩個正數c與ε，對自然數n，若且唯若1/n<ε時，n>c.
這樣 定義1 若且唯若 定義2 成立時成立。
現在證明定義1：
假設這個性質不成立，即假設有一正數c，不存在於c的自然數.由正性公理可推知：對於任意自然數n，n<=c，此時自然數集N有上界，由完備性公理知N有最小上界，記為b.
因為b是自然數集N的最小上界，則b-1/2不是N的上界，這樣，可以選取一個自然數n>b-1/2，因而：
n+1>(b-1/2)+1>b.
所以自然數n+1大於b.這與b是N的上界的選取相矛盾，故假設不成立。
所以，對任一正數c，有自然數n滿足n>c.
其他解釋
歐幾里得的解釋：任意給定兩個正實數a、b，必存在正整數n，使na>b。
幾何描述：在長短不同的兩條線段中，無論較長的線段怎樣長，較短的線段怎樣短，總可以在較長的線段上連續截取較短的線段，並且截到某一次以後，必出現下面兩種情況：
1：沒有剩餘；
2：得到一條短於較短線段的剩餘線段。
舉例
例1：在一條直線上截取任意兩條線段A,B。都符合A+A+A+···+A=A·N>B
這就是“阿基米德公理”有時也叫阿基米德-歐多克斯公理，因為阿基米德把這個命題歸功於歐多克斯。其實，比歐多克斯更早些，我國古代《墨經》上已記載著“窮，或有前不容尺也”，指的正是這個意思。
