基本介紹
酉變換是一種線性變換。設σ是酉空間V的線性變換,若對任意的α,β∈V,(σ(α),σ(β))=(α,β),則稱σ為V上的酉變換。設σ是n維酉空間V的酉變換,則存在V的標準正交基,使σ關於此基的矩陣為對角形,且對角線上元素的模為1。設σ是n維酉空間V的線性變換,則下列命題等價:
1.σ是酉變換;
2.|σ(α)|=|α|,對任意的α∈V;
3.σ關於標準正交基的矩陣是酉矩陣(酉變換(或正交變換)在標準正交基下的矩陣表示是酉矩陣(或正交矩陣));
4.若ε,ε,…,ε是V的標準正交基,則σ(ε),σ(ε),…,σ(ε)也是V的標準正交基 。
相關結論
定理1 設V為酉空間,則
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A為V的酉變換A把V的規範正交基仍變為規範正交基 。
定理2 設V為酉空間,則
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A為V的酉變換A關於V的任一個規範正交基的矩陣是酉矩陣。
在酉空間裡,同樣有對稱變換。
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定理3的酉變換是線性變換 。
相關概念
對稱變換
定義 設V為酉空間,A∈L(V),如果
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則稱線性變換A為V的 對稱變換 。
對於對稱變換,我們有下面的結論。
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定義 設,如果
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對稱矩陣 H為埃爾米特(Hermite)矩陣。
定理 設V為酉空問,則
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A為V的對稱變換A關於V的任一個規範正交基的矩陣是埃爾米特矩陣。
關於對稱變換與埃爾米特矩陣還有下面的結論。
定理 設V為酉空間,A為V的對稱變換,則
(1)A的特徵值是實數;
(2)A的屬於不同特徵值的特徵向量正交;
(3)存在V的一個規範正交基,使得A關於這個基的矩陣是對角矩陣。
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定理 設 H是為n階埃爾米特矩陣,則存在n階酉矩陣 U,使得是一個對角矩陣。
ie:埃爾米特矩陣一定“酉相似”於一個對角矩陣 。
Household變換
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設,且。則由矩陣所確定的線性變換是中的酉變換。
Household矩陣有以下性質:
①;(Hermite矩陣)
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②;(酉矩陣)
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③;(對合陣)
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④;(自逆陣)
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⑤若,則。
Household變換也稱為初等反射變換,而Household矩陣也稱為初等反射矩陣 。