![遞推數列[數列名稱]](/img/7/039/nBnauM3XzgjM1MzM2IzM5ITN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyMzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg "遞推數列[數列名稱]")
相關概念
首先數列的定義是：按一定次序排列的一列數稱為數列（sequence of number）。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。
排在第一位的數列稱為這個數列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項。所以，數列的一般形式可以寫成 a，a，a，…，a，…
簡記為{a}。
通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式。
數列中數的總數為數列的項數。特別地，數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）為定義域的函式a=f(n)。
如果可以用一個公式來表示,則它的通項公式是a=f(n).
數列分類
按照項數是否有限分為有窮數列和無窮數列。
（1）項數有限的數列為“有窮數列”（finite sequence）
（2）項數無限的數列為“無窮數列”（infinite sequence）
按照項與項的大小關係分為遞增數列、遞減數列和擺動數列。
（1）從第2項起，每一項都不小於它的前一項的數列叫做遞增數列；
（2）從第2項起，每一項都不大於它的前一項的數列叫做遞減數列；
（3）從第2項起，有些項大於它的前一項，有些項小於它的前一項的數列叫做擺動數列；
按照有界性分為有界數列和無界數列。
一個數列每一項的絕對值都小於某個正數（即|A|
一些特殊的數列
（1）各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函式）；
（2）各項相等的數列叫做常數列。（注意常數列是遞增數列和遞減數列的特殊情況。）
1.按照項數是否有限分為有窮數列和無窮數列。
（1）項數有限的數列為“有窮數列”（finite sequence）
（2）項數無限的數列為“無窮數列”（infinite sequence）
2.按照項與項的大小關係分為遞增數列、遞減數列和擺動數列。
（1）從第2項起，每一項都不小於它的前一項的數列叫做遞增數列；
（2）從第2項起，每一項都不大於它的前一項的數列叫做遞減數列；
（3）從第2項起，有些項大於它的前一項，有些項小於它的前一項的數列叫做擺動數列；
3.按照有界性分為有界數列和無界數列。
一個數列每一項的絕對值都小於某個正數（即|A|
4.一些特殊的數列
（1）各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函式）；
（2）各項相等的數列叫做常數列。（注意常數列是遞增數列和遞減數列的特殊情況。）
遞推公式
遞推公式：如果數列{a[n]}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。
用遞推公式表示的數列就叫做遞推數列
比如等比數列A=A*q 可以表示為：A=q*A
等差數列
相關定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做 等差數列（arithmetic sequence），等差數列可以縮寫為A.P.。這個常數叫做等差數列的 公差（common difference），公差通常用字母d表示。
由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的 等差中項（arithmetic mean）。
有關係：A=（a+b）/2
相關公式
通項公式
a=a+(n-1)d
a=S-S(n≥2)
a=kn+b(k,b為常數)
求和公式
S=n(a+a)/2=n*a+n(n-1)d/2
S=(d/2)*n +(a-d/2)n
相關計算
1.等差數列:
通項公式a=a+(n-1)d （a：首項；d：公差；a第n項）
a=a+(k-1)d （a為第k項）
若a,A,b構成等差數列 則 A=(a+b)/2
2.等差數列前n項和:
設等差數列的前n項和為S
即 S=a+a+...+a;
那么 S=n*a+n*(n-1)*d/2=n *d/2+(a-d/2)*n
還有以下的求和方法: 1,不完全歸納法 2 累加法 3 倒序相加法
性質
且任意兩項a，a的關係為：
a=a+(n-m)d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a+a=a+a-1=a+a-2=…=a+a-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
a+a=a+a
S-1=(2n-1)a，S2+1=(2n+1)a+1
S，S-S，S-S，…，S-S…成等差數列，等等。
和=（首項+末項）×項數÷2
項數=（末項-首項）÷公差+1
首項=2和÷項數-末項
末項=2和÷項數-首項
設a,a,a為等差數列。則a為等差中項,則2a=a+a。
套用
日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別
時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。
若為等差數列，且有a=m,a=n.則a(m+n)=0。
等比數列
相關定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做 等比數列（geometric sequence）。這個常數叫做等比數列的 公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
等比數列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的 等比中項。
有關係：G =ab；G=±(ab)
註：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以G =ab是a,G,b三數成等比數列的必要不充分條件。
相關公式
通項公式
a=aq
a=S-S(n-1) (n≥2)
求和公式
當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為
S=a(1-q )/(1-q)=(a-a*q)/(1-q)(q≠1)
相關計算
1.等比數列:
通項公式 a=a*q （a1：首項；an：第n項）
a=a*q ,a=a*q
則a/a=q
(1)a=a*q
(2)a,G,b 若構成等比中項,則G =ab (a,b,G≠0)
(3)若m+n=p+q 則 aa=aa
2.等比數列前n項和
設 a,a,a...a構成等比數列
前n項和S=a+a+a...a
S=a+a*q+a*q +....a*q +a*q
這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去,所以希望這個公式也要理解。
S=a(1-q )/(1-q)=(a-a*q)/(1-q) （q≠1）
S=na （q=1）
求和一般有以下5個方法: 1,完全歸納法（即數學歸納法） 2 累乘法 3 錯位相減法 4 倒序求和法 5 裂項相消法
性質
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
性質：
①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則aa=aa
②在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列.
G是a、b的等比中項”“G =ab（G≠0）
(5) 等比數列前n項之和S=a(1-q )/(1-q)
在等比數列中，首項a1與公比q都不為零.
套用
等比數列在生活中也是常常運用的。
如：銀行有一種支付利息的方式---複利。
即把前一期的利息和本金價在一起算作本金，
再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。
按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比數列的通項公式是：a=a*q
若通項公式變形為a=a/q*q (n∈N*),當q>0時，則可把a看作自變數n的函式，點(n,a)是曲線y=a/q*q 上的一群孤立的點。
（2）求和公式：S=na(q=1)
S=a(1-q )/(1-q)
=(a-aq )/(1-q)
=a/(1-q)-a/(1-q)*q ( 即a-a )
(前提：q ≠ 1)
任意兩項a，a的關係為a=aq
（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： aa=aa=aa=…=aa，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中項：a·a=a ，a則為a，a等比中項。
記π=aa…a，則有π=a2n-1，π=(a+1)2n+1
等和數列
定義
“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的後一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。
對一個數列，如果其任意的連續k（k≥2）項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列
性質
必定是循環數列
常見形式
a=S-S （n≥2）
累和法（a-a=... a - a=... a-a=...將以上各項相加可得a）。
逐商全乘法（對於後一項與前一項商中含有未知數的數列）。
化歸法（將數列變形，使原數列的倒數或與某同一常數的和成等差或等比數列）。
特別數
在等差數列中，總有S S-S S-S
2(S-S)=(S-S)+S
即三者是等差數列,同樣在等比數列中。三者成等比數列
不動點法（常用於分式的通項遞推關係）
不動點法求數列通項
對於某些特定形式的數列遞推式可用不動點法來求
特殊數列
特殊數列的通項的寫法
1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------a=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------a=1/n
2，4，6，8，10，12，14.......-------a=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------a=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------a=(-1)
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------a=(-1)
1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------a=[(-1) +1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------a=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999,9999,99999,......... ------a=10 -1
1,11,111,1111,11111.......--------a=[10 -1]/9
衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------a=[10 -1]*n/9,n為1-9的整數
1，4，9，16，25，36，49，.......------a=n^2
1,2,4,8,16,32......--------a=2
著名數列
等差數列典型例題：
1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求S
解析：
S=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]
=1-1/(n+1)
大衍數列 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－
通項式：
a=(n×n－1)÷2 (n為奇數)
a=n×n÷2 (n為偶數)
前n項和公式：
S = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n為奇數）
S = n(n+2)(2n-1)÷12 (n為偶數）
大衍數列來源於《乾坤譜》，用於解釋太極衍生原理。
斐波那契數列 1、1、2、3、5、8、13、21、……
通項式
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2] - [(1-√5)/2] }
這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
還可以發現 S-2 +S -1=Sn
