定義
在一個含有若干個元的多項式中,如果任意交換兩個元的位置,多項式不變,這樣的多項式叫做對稱多項式。
輪換式與對稱式
如果一個多項式中的變數字母按照任何次序輪換後，原多項式不變，那么稱該多項式是輪換多項式。 對稱輪換式就是兩項互換，可以看做輪換式的特殊情況。
下面通過例子來說明輪換式和對稱式的區別和聯繫：
輪換式1、對於這幾個代數式：
交換這些式子中的任意兩個字母，式子不變。我們把這樣的式子叫做 對稱式。
輪換式2、再看這幾個式子：
將這些式子中的 x 換成 y， 將 y 換成 z, 將 z 換成 x,即將字母做一個輪換， 式子保持不變。我們將這樣的式子叫做 輪換式。
由此可見： 對稱式一定是輪換式，但輪換式未必是對稱式。另外，兩個輪換式（對稱式）的和、差、積、商仍然是輪換式（對稱式）。
輪換式的因式分解
輪換式例1：分解因式
輪換式 輪換式
輪換式 輪換式分析： 這是一個二元對稱式，二元對稱式的基本對稱式是 .任何二元對稱多項式都可用 表示，如 ，二元對稱多項式的分解方法之一是：先將原式用 表示，再行分解。
輪換式解：
輪換式∴原式
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式例2:分解因式
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式 輪換式
輪換式
輪換式 輪換式
輪換式此題中若將式中的b換成a，c換成b，a換成c，即為 ，原式不變，這類多項式稱為關於a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單。下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號 ， 如對一元多項式 可記作 ， 即表示當 時多項式的值，如 時，多項式 的值為 ；當 時多項式 的值為
輪換式
輪換式
輪換式 輪換式
輪換式
輪換式因式定理：如果 時多項式 的值為零，即 則 能被 整除(即含有 的因式)。
輪換式 輪換式
輪換式 輪換式
輪換式
輪換式如多項式 ，當 時， 即 含有 的因式，事實上 .
輪換式
輪換式對於一般的形式： ，若 ，則
輪換式
輪換式
輪換式由於 （其中 | 表示整除）
輪換式∴
由以上分析可知：對於多元多項式,在使用因式定理時可以確定一個主元,而將其它的元看成確定的數來處理.
我們利用因式定理來解例2：
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式解 這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現以a為主元，設 ，易知當a=b和a=c時，都有 ，故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設 ，其中k為待定係數，令 可得
輪換式∴
輪換式例3分解因式
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式 輪換式分析: 這是一個關於a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知 是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應是 ，故可設 （其中k為待定係數），取 可得 ，所以
輪換式原式
輪換式的形式
輪換式一次齊次的輪換式形如：
輪換式二次齊次的輪換式形如：
輪換式三次齊次的輪換式形如：
其中的 l, m, n, k 是待定常數.
齊次與非齊次
輪換式分解因式
輪換式易知其有因式 。因為原式是五次齊次輪換式，所以還缺一個二次齊次輪換式。不妨設
輪換式
輪換式
輪換式令 可得
輪換式
輪換式令 可得
輪換式於是可得 。這就給出了所要的因式分解。
輪換式分解因式：
輪換式
輪換式記 ， 則此題就變為上一例題。最後結果為：
輪換式一個有用的公式
輪換式分解因式：
輪換式
輪換式當 時，原式為 0，所以原式有因式 。再者，原式是三次齊次輪換式，所以我們還缺一個二次齊次輪換式因式。 不妨設
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式
輪換式比較兩邊 的係數可得 。比較 的係數可得 ，於是：
輪換式有時候我們也把它寫為
輪換式