舉例
例1分解因式x4+(x+y)4+y4
分析 這是一個二元對稱式,二元對稱式的基本對稱式是x+y,xy任何二元對稱多項式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對稱多項式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解.
解 ∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy3
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2=2(x2+y2+xy)2,
例2分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不變,這類多項式稱為關於a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及待定係數法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號f(x)、f(a)如對一元多項式3x2-5x-2可記作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示當x=a時多項式的值，如x=1時多項式3x2-5x-2的值為f(1)=3×12-5×1-2=-4,當x=2時多項式3x2-5x-2的值為f(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理 如果x=a時多項式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
如多項式f(x)=3x2-5x-2,當x=2時,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事實上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
證明 設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0,則
f(x)=f(x)-f(a)
=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)
=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),
由於(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
對於多元多項式,在使用因式定理時可以確定一個主元,而將其它的元看成確定的數來處理.
解法
我們用因式定理來解例8.
解 這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現以a為主元，設f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當a=b和a=c時，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知b-c也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k為待定係數，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析 這是一個關於a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應是a+b+c，故可設a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k為待定係數），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
