超橢圓積分是一類特殊的Ab日積分(Abe恤min把gta]) 乒(z，w)己
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(1) 其中R是z，w的有理函式(mt沁耐撇朗如n)，變數z，w滿足一個特殊類型的代數方程 記=p幼，(2) 這裡P(z)是一個次數m)5的沒有重根的多項式.當P 的次數。=3，4時，它是橢圓積分矽正p度泊加粵沮)，而 當m=5，6時有時也稱為超橢圓的（ul如一翻ptic). 方程(2)對應於一個虧格為g的雙葉緊R加m.扣 曲面(凡。匡舊曰的suxfaee)F，其中(m一勸/2，當爪為偶數時， g二人 t(m一l)/2，當機為奇數時，因此對超橢圓積分有g)2.函式z，w，從而R(z，w) 都是F上的單值函式.而作為定積分的積分式(1)由 F上的某個解析函式沿著一條可求長的路徑L的曲線積分(c以勸址七盯加把邵司)給出，一般地其積分值完全 由L本身的起始點和終點所確定. 和Abel積分的一般情形一樣，任何超橢圓積分均可表示成一些初等函式和具有特殊形式的第一、二、 三類典範超橢圓積分的線性組合.因此第一類正規超橢圓積分(normalll班姆r~e正ptic inte腳lof此Ihat kind) 是第一類超橢圓積分 r丫一1 .—a萬_V二I。’二口。W 的線性結合，這裡(z’一’/w)dZ(v二1，…，功對超橢圓曲面F的情況是第一類Abd微分(Abe位m dif企rent過) 的最簡單的基.第二、三類Abe]微分及相應的超橢圓積分的顯式表達式也可容易地算出(匯21).大體上 看，超橢圓積分理論與Abel積分的一般理論是一致 的，變數z，w的滿足上述方程(2)的所有有理函式R份，w)形成一個虧格g的代數函式的袒娜卿琴(hyl茸r. 曲ptic石eld).虧格g一1或2的緊Rielr以面曲面分別有一個橢圓或超橢圓域.然而當虧格g=3或更大時，存在結構複雜的緊R記m出加曲面使得這一結論不再成立
