原因
假設賭徒的初始資金是n，每賭一次或輸或贏，資金分別變為n+1和n-1。輸或者贏得機率為0.5，求一直
賭下去資金變為0的機率是多少？假設從n開始一直賭下去變為0的機率是T(n).
那么我們有：
T(0) = 1
T(n)=0.5*T(n-1)+0.5*T(n+1);
T(n) = ( T(n-1) + T(n+1) )/2, 對n > 0.
這第二個式子相當於數n有一半機會變成n-1，一半機會變成n+1。
那么變換一下相當於T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)。
設T(1)的值為a, 那么顯然0< a<=1。利用T(n+1) = 2T(n)-T(n-1)
T(1) = a
T(2) = 2a - 1
T(3) = 2(2a-1) - a = 3a - 2
T(4) = 4a - 3
...
T(n) = na - n + 1.
我們知道T(n) >= 0對於任意的n成立。
在n(a-1)+1這種情況下，a無限接近1，.
所以我們證明了T(1) 約等於 1. 同樣的過程可以得到T(2)約等於 1, ...,
一直下去，T(n) 約等於 1.
這樣，我們得到了一個有些違背直覺的結論：無論你有多少錢，你用50%的機率
賭下去，“久賭必輸”。有些賭徒會一次押多些，不是一次1單位，但我們並不
難認同，這只會改變輸的方式，只要是50%的機率，最後總是輸光的
實際經驗
下面來討論一下，手上有a元錢，輸或贏機率為0.5，每次輸或者贏1元錢，玩n次時，輸光的機率p(a,n)。
首先由全機率公式得知：
第一輪後，a會變成a+1,或a-1;
p(a,n)=0.5*p(a+1,n-1)+0.5*p(a-1,n-1);
若a=1，玩2輪，p(1,2)=0.5*p(2,1)+0.5*p(0,1)=0.5*0+0.5*1=0.5;
p(2,1)表示，有2元，玩一次，肯定不會輸光,所以p(2,1)=0；
p(0,1)這表示已經輸光了，機率肯定為1；
若a=1,玩3輪，p(1,3)=0.5*(p(2,2)+p(0,2))=0.5*(0.5*(p(3,1)+p(1,1))+1)=0.5*(0.5*(0+0.5)+1)=5/8=0.625;
若a=1,玩20輪，p(1,20)=0.823
若a=1,玩21輪, p(1,21)=0.831
可以看到玩的輪數越多，輸光的機率越大，由於邊界效應，遞增的速度越慢。
這裡面若勝率為q，每次輸或贏f元，則公式為
p(a,n)=q*p(a+1,n-1)+(1-q)*p(a-1,n-1)
若n為無限大的時候，p(a,n)是無限接近於1，那邊應該等於多少呢？也就是前面證明“ 原因”過程中的T（a）。
經過嚴格證明得出T(a)=n/(a+n)。
證明過程略。
