諾特環:在數學中，更具體地在抽象代數領域被稱為環形理論。諾特環(Noet -百科知識中文網

簡介

在數學中，更具體地在抽象代數領域被稱為環形理論。諾特環(Noetherian ring)是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特(Hilbert)首先在研究不變數理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後德國數學家埃米·諾特(Emmy Noether)從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。

諾特環是一個滿足理想上升鏈條件的環；也就是說，給予任何理想的鏈條：

存在n，使得：

另外還有其他等價定義的Noetherian環。

等價的定義為：A的每個理想都是有限生成的，或者是理想是有限生成的。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左諾特環與右諾特環。A是左（右）諾特環若且唯若A在自己的左乘法下形成一個左（右）諾特模。對於交換環則無須分別左右。

艾美獎環以艾美·諾特（Emmy Noether）命名。由於它在簡化環的理想結構中起著重要的作用，在交換和非交換環理論中，Noetherian環的概念是至關重要的。例如，整數環和場上的多項式環都是Noetherian環，因此，諸如Lasker-Noether定理，Krull交集定理和希爾伯特基礎定理這樣的定理成立。此外，如果一個環是Noetherian，那么它滿足主要理想的下降鏈條件。這個屬性暗示了從Krull維度的概念開始的Noetherian環的深度的維度理論。

特徵

對於非交換環，有必要區分三個非常相似的概念：

1.如果滿足左側理想上升的鏈條條件，則環為Noetherian。

2.如果它滿足左理想的上升鏈條件，那么一個戒指是對的 - Noetherian。

3.如果它是左和右，Noetherian，都是Noetherian。

對於交換環，所有三個概念重合，但一般來說它們是不同的。有沒有左Noetherian環，而不是右Noetherian環，反之亦然。

還有另外一個等同的定義，我們給左Noetherian環R一個定義：

1.在R中的每個左邊的理想I有限地產生，即在I中存在元素a1，...，an，使得I = Ra1 + ... + Ran。

2.每個非空集合的左邊理想，通過包含部分排序，具有關於集合包含的最大元素。

類似的結果適用於右諾特環。

對於一個交換戒指是Noetherian，就可以有效地生成環的每個主要理想。

屬性

1.任何交替的主要理想環都是Noetherian，因為這樣一個環的每個理想都是由一個元素產生的。特別是，每個主要的理想領域和每個歐幾里得域都是Noetherian。

2.Z是一個Noetherian環，這個事實在通常的證據中被利用，每個非單位整數都可以被至少一個素數整除，儘管它通常被稱為“每個非空的整數集合具有關於可分割性的最小元素”。

3.如果R是Noetherian環，則R [X]是Hilbert基定理的Noetherian。通過感應，R [X1，...，Xn]是一個Noetherian環。此外，R [[X]]，功率系列環是Noetherian環。

4.如果R是Noetherian環，而我是雙面的理想，那么R / I因子也是Noetherian。換句話說，一個Noetherian環的任何一個彈性環同態的形象是Noetherian。

5.在交換性的Noetherian戒指上的每個有限生成的交換代數是Noetherian。（從以前的兩個屬性開始）

6.若且唯若每個有限生成的左R模組都是Noetherian模組時，環R就是Noetherian。

7.交換的Noetherian環的每個本地化都是Noetherian。

8.Akizuki-Hopkins-Levitzki定理的結果是每個左邊的Artinian環都是Noetherian。另一個後果是，左邊的Artinia環是左的Noetherian，如果且只有左的Artinian。具有“右”和“左”的類似語句互換也是如此。

9.一個左側的Noetherian環是相干的，左側的Noetherian域是一個左側的礦石域。

10.如果且只有注射（左/右）模組的每個直接總和是注射的，則是（左/右）Noetherian。每個注射模組可以分解為不可分解的注射模組的直接總和。

11.在一個交換的Noetherian環中，只有極少數的理想。

12.在可交換的Noetherian域R中，每個元素都可以被分解為不可約元素。因此，如果另外不可約束的元素是素數元素，則R是唯一的分解域。

舉例

1.任何領域，包括有理數字，實數和複數的領域，都是Noetherian。

2.任何主要的理想領域，如整數，都是Noetherian，因為每個理想都是由一個元素生成的。

3.Dedekind域（例如，整數環）是Noetherian，因為每個理想都由最多兩個元素生成。 “Noetherian”來自於Krull-Akizuki定理。發電機數量的範圍是福斯特 - 天鵝定理（或基本環理論）的推論。

4.作為希爾伯特基礎定理的結果，仿射品種的坐標環是一個Noetherian環。

5.有限維代數g的包絡代數U是左和右noetherian環，這是因為U的相關分級環是Sym(g)的商，是一個場上的多項式環；因此，是一個Noetherian環。

6.整數或一個欄位中有限多個變數的多項式環。

不是Noetherian的戒指往往（在某種意義上）非常大。以下是非Noetherian戒指的一些例子：

1.無限多個變數X1，X2，X3等中的多項式環，理想（X1），（X1，X2），（X1，X2，X3）等的序列是上升的，不會終止。

2.代數整數的環不是Noetherian。例如，它包含無限上升的主要理想鏈：（2），（21/2），（21/4），（21/8），...

3.從實數到實數的連續函式的環不是Noetherian：令In是所有連續函式f的理想，使得對於所有x≥n，f（x）= 0。理想I0，I1，I2等的序列是不終止的上升鏈。

4.穩定同倫群的球體不是Noetherian。然而，非Noetherian戒指可以是Noetherian戒指的子環。由於任何一個整合的域都是一個子域，任何不是Noetherian的整合域都是一個例子。給一個不那么瑣碎的例子，

5.在場k上由x和y / xn生成的合理函式環是只有兩個變數的場k（x，y）的子環。

事實上，有一些環是左的Noetherian，但沒有右Noetherian，所以一個人必須小心測量一個戒指的“大小”這樣。例如，如果L是與Z同構的的亞組，則R是從到自身滿足f（L）⊂L的同態的環。選擇一個基礎，我們可以描述相同的環R：

這個環是左的Noetherian，但不會右Noetherian；由a = 0和γ= 0的元素組成的子集I⊂R是沒有有限生成的左R模組的左理想。

如果R是左側的Noetherian環S的交換子環，S作為左R模組有效生成，則R是Noetherian。（在S是可交換的特殊情況下，這被稱為Eakin定理）然而，如果R不可交換，則不是這樣：前一段的R環是左側Noetherian環S = Hom（，），S作為左R模組有限地生成，但R不是Noetherian。

唯一的分解域不一定是一個noetherian環。它確實滿足一個較弱的條件：主要理想上升的鏈條條件。

估值環不是Noetherian，除非它是主要的理想領域。它給出了代數幾何自然產生的環，但不是Noetherian的例子。