論球和圓柱

之後在第一卷中共給出了44個命題，內容涉及圓柱和圓錐的表面積、球的表面積與體積以及球缺與扇形圓錐的體積。 ”命題33：“任一球的表面積等於其大圓面積的4倍。 ”命題34：“任一球的體積等於一圓錐體積的4倍，該圓錐以球的大圓為底，高為球的半徑。

《論球和圓柱》(On the Sphere and the Cylinder)
希臘數學家、物理學家、天文學家阿基米德著。阿基米德的幾何學著作是希臘數學的頂峰。該著作是作者關於幾何形的面積和體積方面的幾種主要著作之一。由其卷首的序言可知，該著作是作者的《拋物弓形求積》的繼續，並先於另外的著作《論螺線》和《論劈錐曲面體與橢球體》。
全篇共分兩卷。第一卷開頭先給出了6個定義和5個假設。如定義了底為球面的圓錐（扇形圓錐）以及由二圓錐組成的算盤珠形的立體。第一個假設（或公理）是：具有兩相同端點的所有（曲）線中以直線為最短。類似地，具有相同邊界（邊界在一平面上）的所有（曲）面中以平面為最小（假設3）。第五個假設是所謂阿基米德公理：“在不相等的線、面或立體中，累加較大者與較小者的差，總可超過任給一可與之相比的量。”用現代術語表達，即對任意二量A、B，A－B>0，則對任意大的量C，總存在n，使n(A－B)＞C。之後在第一卷中共給出了44個命題，內容涉及圓柱和圓錐的表面積、球的表面積與體積以及球缺與扇形圓錐的體積。如命題13：“任一正圓柱（不計兩底面）的表面積等於一圓的面積，該圓的半徑是圓柱的高與直徑的比例中項。”命題33：“任一球的表面積等於其大圓面積的4倍。”命題34：“任一球的體積等於一圓錐體積的4倍，該圓錐以球的大圓為底，高為球的半徑。”該命題的推論是：以球的大圓為底，以球的直徑為高的圓柱，其體積是球體積的 ，其包括上下底面在內的表面積是球表面積的 。這就是刻在阿基米德墓碑上的著名定理。其後給出了球缺的表面積公式（命題42,43）。第二卷中討論了由第一卷中的命題推出的結果（3個命題，6個問題），主要是關於球缺的內容。如命題9：“在所有球缺中，與半球具有相同表面積者體積最大。”作者在前言中談到了他關於螺線與劈錐曲面體的發現，並準備在以後的著作中敘述。
《論球和圓柱》中的所有結果都以窮竭法進行嚴格證明，是古代數學嚴格性的典範。其中關於面積和體積的系統結果充分反映了希臘幾何學的高度發展水平，對其後一切關於面積和體積方面的研究產生了深遠影響。