秦王暗點兵
秦王暗點兵問題和韓信亂點兵問題，都是後人對物不知其數問題的一種故事化。
物不知其數問題出自一千六百年前我國古代數學名著《孫子算經》。原題為："今有物不知其數，三三數之二，五五數之三，七七數之二，問物幾何？"
這道題的意思是：有一批物品，不知道有幾件。如果三件三件地數，就會剩下兩件；如果五件五件地數，就會剩下三件；如果七件七件地數，也會剩下兩件。問：這批物品共有多少件？
變成一個純粹的數學問題就是：有一個數，用3除餘2，用5除餘3，用7除餘2。求這個數。
這個問題很簡單：用3除餘2，用7除也餘2，所以用3與7的最低公倍數21除也餘2，而用21除餘2的數我們首先就會想到23；23恰好被5除餘3，所以23就是本題的一個答案。
這個問題之所以簡單，是由於有被3除和被7除餘數相同這個特殊性。如果沒有這個特殊性，問題就不那么簡單了，也更有趣得多。
我們換一個例子；韓信點一隊士兵的人數，三人一組余兩人，五人一組餘三人，七人一組餘四人。問：這隊士兵至少有多少人？
這個題目是要求出一個正數，使之用3除餘2，用5除餘3，用7除餘4，而且希望所求出的數儘可能地小。
如果一位同學從來沒有接觸過這類問題，也能利用試驗加分析的辦法一步一步地增加條件推出答案。
例如我們從用3除餘2這個條件開始。滿足這個條件的數是3n+2，其中n是非負整數。
要使3n+2還能滿足用5除餘3的條件，可以把n分別用1，2，3，…代入來試。當n=1時，3n+2=5，5除以5不用餘3，不合題意；當n=2時，3n+2=8，8除以5正好餘3，可見8這個數同時滿足用3除餘2和用5除餘3這兩個條件。
最後一個條件是用7除餘4。8不滿足這個條件。我們要在8的基礎上得到一個數，使之同時滿足三個條件。
為此，我們想到，可以使新數等於8與3和5的一個倍數的和。因為8加上3與5的任何整數倍所得之和除以3仍然餘2，除以5仍然餘3。於是我們讓新數為8+15m，分別把m=1，2，…代進去試驗。當試到m=3時，得到8+15m=53，53除以7恰好餘4，因而53合乎題目要求。
我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《算法統宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。
這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的餘數，用21乘以用5除的餘數，用15乘以用7除的餘數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。
按這四句口訣暗示的方法計算韓信點的這隊士兵的人數可得：70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53，所以，這隊士兵至少有53人。
在這種方法裡，我們看到：70、21、15這三個數很重要，稍加研究，可以發現它們的特點是：
70是5與7的倍數，而用3除餘1；
21是3與7的倍數，而用5除餘1；
15是3與5的倍數，而用7除餘1。
因而，
70×2是5與7的倍數，用3除餘2；
21×3是3與7的倍數，用5除餘3；
15×4是3與5的倍數，用7除餘4。
