理論背景
〈砂粒計算者〉是阿基米德寫給錫拉庫沙國王長子格朗（Gelon）的一封信中，他把一般人認為無窮大的海灘沙數，根據每顆沙粒的實際大小去推算“究竟使用多少顆沙粒才能將整個宇宙空間全部填滿。
古人看到密密麻麻的海灘或河流的細砂，都束手無策，認為數目龐大，不可計數。阿基米德是第一個把人們認為無窮大的海灘沙數巧妙地以有限數目表示的人。
阿基米德的幾何學著作是希臘數學的頂峰。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內的砂粒數量，他運用了很奇特的想像，建立了新的量級計數法，確定了新單位，提出了表示任何大數量的模式，這與對數運算是密切相關的。
推算方法
阿基米德的巧妙算法推算步驟如下：
1. 估計宇宙的直徑
古希臘人認為宇宙是一個巨大天球，地球位於天球中心，這個宇宙天球的直徑是地球直徑的一萬倍。地球的圓周已由阿基米德的好友厄拉托西尼測出是25萬史達地亞（Stadia），因此地球的直徑小於10萬史達地亞。（一個史達地亞是指運動場一圈的長度。奧林比亞運動場一圈是630.8英尺，厄拉托西尼所用的是埃及的史達地亞，它的長度為516.73英尺。）阿基米德為了增強說服力，將宇宙範圍再擴大一萬倍，如此宇宙直徑變為地球的十億倍，也就是說宇宙的直徑仍小於100萬億史達地亞。以一史達地亞為516.73英尺估算，宇宙的直經小於100萬億×516.73英尺即516.73×10英尺，小於62×10英寸，小於1×10英寸。
2. 估計一英寸直徑的球可裝多少沙粒
為了增加說服力，阿基米德儘量把沙粒描繪的非常小，他假設一萬顆砂粒才有一顆罌粟粒子那么大，因為一顆罌粟粒子的直徑是英寸，所以一個一英寸直徑的圓球可裝：
1寸÷(1/40) 寸=6400顆罌粟粒子或64000×10顆沙粒，小於10顆沙粒。
阿基米德畫像3. 宇宙可容多少顆沙粒。
根據上述1、2可知，宇宙可裝的沙粒數目為：
【(宇宙直徑)÷1寸】×10=（1×10）×10=10顆砂粒
4. 阿基米德對宇宙填砂的解說
10是非常大的數目，當時古希臘的計數單位最大才到“萬”，很難滿足這個問題的解答。於是阿基米德很技巧的又將當時的計數單位作了擴充，創造了一套表示大數的方法。他將一萬（10）叫做第一級單位，將一萬的一萬倍即一億（10）叫做第二級單位，第二級一億的一億倍（10）叫做第三級單位，如此類推，得第四級單位（10），第五級單位（10），第六級單位（10），第七級單位（10），第八級單位（10），共取八級。
依這個計畫算準則，填滿直徑為一英寸的圓球至多需要6.4×10顆沙粒，大約是第二級單位。如果填滿直徑為一史達地亞的圓球大約是2×10顆砂粒，則大約是介於第三級和第四級單位之間，至於填滿整個地球的砂粒為2×10顆，大約是比第四級單位大一些。至於填滿阿基米德式宇宙（比希臘式宇宙大十萬倍）的沙粒為10顆，則還不到第五級單位（10）哩！
古希臘人把10叫做黑暗，10叫做黑暗中的黑暗，意思是它們已經大得數不清了。而阿基米德算出的這個數目，不知是黑暗的多少倍，由此可見“砂粒的計算問題”不僅顯示了阿基米德高超的計算能力，也顯示了他的膽識與氣魄。
研究進展
填滿今日科學家認識的宇宙所需沙數
10顆砂粒是否可填滿今日科學家所認識的宇宙。我們的答案是太少了。當然這不是阿基米德的過錯，如果他生活在現代，他當然能精確計算出填滿整個宇宙所須的沙數。我們只能說古希臘人心目中的天球（宇宙）太小了。
既然希臘式宇宙無法滿足“砂粒的計算問題”，那么需要用多少顆沙粒才能填滿整個宇宙。讀者可能立刻會想到，只要知道宇宙的體積，答案就可迎面而解。談到宇宙的大小，最先談起的當然是剛剛我們才敘述的希臘式宇宙，這是有一定範圍和邊長的宇宙。這個觀念，一直到托勒密（Ptolemy）、哥白尼（N. Copernicus）甚至伽利略（Galileo Galilei）都相信這個說法。但是牛頓以後，又興起宇宙的大小和邊長都是無窮大的說法。因為人們很難想像宇宙有“盡頭”，如果宇宙有“盡頭”，那么盡頭的外面又是什麼？
愛因斯坦（A. Einstein）最先用相對論學說打破這種觀念，他說：宇宙有一定大小而沒有邊長。他同時主張，我們的宇宙是處於四度空間中，一個不會膨脹，也不會縮小的“靜止的宇宙”。很多天文學家，不同意愛因斯坦這種說法。於是在1920年左右又有“宇宙膨脹說”理論出現。該理論說：「宇宙起先只是小小一塊固體，後來發生了大爆炸而開始膨脹，所以宇宙應該仍在繼續地膨脹著。」這個“宇宙膨脹說理論”由天文學家哈伯（Edwin Hubble）在觀測實際天體運動時，證實並發現：宇宙間所有銀河的星體都離我們遠去，離開的速度越遠越快。而且每離我們的銀河100萬光年，每秒速度就增加16公里。這個每100萬光年增加每秒16公里的速度因此被叫做哈伯常數。既然所有銀河的星球都以每一百萬光年增加每秒16公里速度的哈伯常數在前進。我們可依哈伯常數計算遠處的銀河距離，在一百七十五億五千萬光年那邊的銀河，它們就會以每秒30萬公里的速度離我們而去。每秒30萬公里也就是和世界上最快的速度「光子」相同。以光速離我們遠去的物體，即使放出光芒，這道光芒也無法達到我們地球。根據愛因斯坦的相對論，世界上沒有比光更快的東西了。由這個理論，推算這裡應該是我們所看到的宇宙之界限，也就是宇宙的地平線。因此我們的結論是:以我們為中心的宇宙，大約是半徑200億光年的大球體，200億光年是我們所能看到宇宙的界限，也稱為「宇宙的地平線
若宇宙是半徑200億光年的大球體,則其體積為:
宇宙半徑=200×10×(365×86400×3×10)公尺
=1892160×10公尺=1.892160×10公尺≒7.5×10英寸
宇宙體積=4/3πR=4/3π(7.5×10)=1.767×10(英寸)
若以1(英寸)可容約6.4×10顆沙粒。
則充滿整個宇宙所需的砂粒為1.767×10×6.4×10=1.1×10顆。
已知宇宙還不到阿基米德第六級單位（10）哩！
