歐拉動力學方程

剛性動力學是一般力學的一個分支，研究剛體在外力作用下的運動規律。它是機器部件的運動，艦船、飛機、火箭等航行器的運動以及天體姿態運動的力學基礎。

剛性動力學的重要方程。
剛體平動 剛體運動的簡單形態（見機械運動）。它在動力學上有兩層意義：①當剛體滿足平動的動力學條件時 ，剛體所作的實際運動。②剛體作一般運動時所分解出的平動部分。剛體平動時，其中各質點的軌跡、速度、加速度全一樣，所以可用剛體質心的運動來代表。套用質心運動定理 ，可建立剛體平動的運動微分方程：，式中M為剛體質量；為剛體質心加速度；F為作用在剛體上所有外力的主矢。剛體實際作平動的動力學條件是：F必須通過質心，且剛體繞質心的初始角速度為零。當不滿足上述條件之一時 ，剛體作一般運動。剛體平動的運動微分方程和質點的運動微分方程形式上完全一致。剛體動力學中有特徵的內容乃是對剛體轉動規律的研究。
剛體定軸轉動 剛體轉動的最簡單形態。套用剛體定軸轉動的運動微分方程可對復擺的運動規律、旋轉機械輸入和輸出功率同平衡轉速的關係進行研究。剛體定軸轉動的另一重要研究課題是支承的動載荷。動載荷是與剛體轉動角速度有關的載荷。當剛體既滿足靜平衡條件剛體的重心在轉動軸上，又滿足動平衡條件旋轉軸是慣性主軸時，支承才不受動載荷的作用。這個結論有重要的工程套用價值。
剛體平面運動 剛體內任一點到某一固定平面的距離保持不變的運動，又稱剛體平面平行運動。直線軌道上滾動的車輪、機車上的曲柄連桿機構等做的都是平面運動。過剛體質心C作一個固定平面， 此平面在剛體上截得一平面圖形S。
剛體的平面運動可由質心C在平面上相對固定坐標系Oxy的運動和剛體繞過C並同固定平面垂直的CZ軸的轉動合成。剛體繞CZ軸旋轉的轉動慣量是常值I。
根據質心運動定理以及繞質心的動量矩定理，可建立剛體平面運動的微分方程。
剛體定點轉動 剛體繞一固定點的運動。設剛體繞固定點O轉動，L為整個剛體對O點的角動量矢量，M為剛體所受諸外力對O點的力矩的矢量和。將角動量定理的矢量方程投影到同剛體固聯的坐標繫上，可以得到剛體繞定點O轉動的一般方程。
將歐拉動力學方程同歐拉運動學方程（見歐拉角）結合在一起，就構成求解剛體定點轉動的封閉的運動微分方程組。它是由6個一階非線性微分方程組成；從中消去ω′x、ω′y、ω′Z，可得到對歐拉角θ、ψ、φ的3個二階非線性微分方程。尋求此運動微分方程組的完全積分，一般說來非常困難。如果Mx'＝My'＝Mz'＝0，則剛體繞定點的運動稱為純慣性運動，可以徹底分析求解。對有外力矩作用的一般情況，剛體的運動非常複雜，僅在剛體的慣量橢球迴轉對稱，且初始狀態有繞旋轉軸的高速自轉，從而具有大的自轉角動量情況下，剛體繞定點的受迫運動才呈現較簡單的陀螺運動規律。對剛體在重力作用下繞定點轉動的問題曾進行過長期研究。要找到足夠的積分組來一般性地求解這種簡單問題，只有在三種（即歐拉、拉格朗日和柯娃列夫斯卡婭）特殊情形下才有可能。
剛體一般運動 即對運動學條件無任何限制的剛體自由運動。設C為剛體的質心，Cx′y′z′為同剛體固聯的質心慣性主軸坐標系。因剛體一般運動可由平動和繞質心的轉動合成，故套用質心運動定理和對質心的角動量定理，即可建立剛體一般運動的微分方程。再利用歐拉運動學方程和初始條件，即可確定剛體在空間的一般運動規律。剛體一般運動的研究對研究各種航行器軌跡和姿態運動之間的相互關係有重要意義。
以上研究的只限於單剛體動力學。隨著現代科學技術的發展，多剛體系統動力學的研究在進行中（見機器人）。