拉格朗日公式:約瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrang -百科知識中文網

拉格朗日

約瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法國數學家、物理學家。他在數學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數學方面的成就最為突出。

生平

拉格朗日1736年1月25日生於義大利西北部的都靈。父親是法國陸軍騎兵里的一名軍官，後由於經商破產，家道中落。據拉格朗日本人回憶，如果幼年是家境富裕，他也就不會作數學研究了，因為父親一心想把他培養成為一名律師。拉格朗日個人卻對法律毫無興趣。

到了青年時代，在數學家雷維里的教導下，拉格朗日喜愛上了幾何學。17歲時，他讀了英國天文學家哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文《論分析方法的優點》後，感覺到“分析才是自己最熱愛的學科”，從此他迷上了數學分析，開始專攻當時迅速發展的數學分析。

18歲時，拉格朗日用義大利語寫了第一篇論文，是用牛頓二項式定理處理兩函式乘積的高階微商，他又將論文用拉丁語寫出寄給了當時在柏林科學院任職的數學家歐拉。不久後，他獲知這一成果早在半個世紀前就被萊布尼茲取得了。這個並不幸運的開端並未使拉格朗日灰心，相反，更堅定了他投身數學分析領域的信心。

1755年拉格朗日19歲時，在探討數學難題“等周問題”的過程中，他以歐拉的思路和結果為依據，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文“極大和極小的方法研究”，發展了歐拉所開創的變分法，為變分法奠定了理論基礎。變分法的創立，使拉格朗日在都靈聲名大震，並使他在19歲時就當上了都靈皇家炮兵學校的教授，成為當時歐洲公認的第一流數學家。1756年，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學院通訊院士。

1764年，法國科學院懸賞徵文，要求用萬有引力解釋月球天平動問題，他的研究獲獎。接著又成功地運用微分方程理論和近似解法研究了科學院提出的一個複雜的六體問題(木星的四個衛星的運動問題)，為此又一次於1766年獲獎。

1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發出邀請時說，在“歐洲最大的王”的宮廷中應有“歐洲最大的數學家”。於是他應邀前往柏林，任普魯士科學院數學部主任，居住達20年之久，開始了他一生科學研究的鼎盛時期。在此期間，他完成了《分析力學》一書，這是牛頓之後的一部重要的經典力學著作。書中運用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學體系，使力學分析化了。他在序言中宣稱：力學已經成為分析的一個分支。

1783年，拉格朗日的故鄉建立了"都靈科學院"，他被任命為名譽院長。1786年腓特烈大帝去世以後，他接受了法王路易十六的邀請，離開柏林，定居巴黎，直至去世。

這期間他參加了巴黎科學院成立的研究法國度量衡統一問題的委員會，並出任法國米制委員會主任。1799年，法國完成統一度量衡工作，制定了被世界公認的長度、面積、體積、質量的單位，拉格朗日為此做出了巨大的努力。

1791年，拉格朗日被選為英國皇家學會會員，又先後在巴黎高等師範學院和巴黎綜合工科學校任數學教授。1795年建立了法國最高學術機構——法蘭西研究院後，拉格朗日被選為科學院數理委員會主席。此後，他才重新進行研究工作，編寫了一批重要著作：《論任意階數值方程的解法》、《解析函式論》和《函式計算講義)，總結了那一時期的特別是他自己的一系列研究工作。

1813年4月3日，拿破崙授予他帝國大十字勳章，但此時的拉格朗日已臥床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。

科學成就

拉格朗日科學研究所涉及的領域極其廣泛。他在數學上最突出的貢獻是使數學分析與幾何與力學脫離開來，使數學的獨立性更為清楚，從此數學不再僅僅是其他學科的工具。

拉格朗日總結了18世紀的數學成果，同時又為19世紀的數學研究開闢了道路，堪稱法國最傑出的數學大師。同時，他的關於月球運動(三體問題)、行星運動、軌道計算、兩個不動中心問題、流體力學等方面的成果，在使天文學力學化、力學分析化上，也起到了歷史性的作用，促進了力學和天體力學的進一步發展，成為這些領域的開創性或奠基性研究。

在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時間花在代數方程和超越方程的解法上，作出了有價值的貢獻，推動了代數學的發展。他提交給柏林科學院兩篇著名的論文：《關於解數值方程》和《關於方程的代數解法的研究》。把前人解三、四次代數方程的各種解法，總結為一套標準方法，即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預解式)以求解。

他試圖尋找五次方程的預解函式，希望這個函式是低於五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊含著置換群概念，對後來阿貝爾和伽羅華起到啟發性作用，最終解決了高於四次的一般方程為何不能用代數方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅。

在數論方面，拉格朗日也顯示出非凡的才能。他對費馬提出的許多問題作出了解答。如，一個正整數是不多於4個平方數的和的問題等等，他還證明了圓周率的無理性。這些研究成果豐富了數論的內容。

在《解析函式論》以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎方面作了獨特的嘗試，他企圖把微分運算歸結為代數運算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，並想由此出發建立全部分析學。但是由於他沒有考慮到無窮級數的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實只是迴避了極限概念，並沒有能達到他想使微積分代數化、嚴密化的目的。不過，他用冪級數表示函式的處理方法對分析學的發展產生了影響，成為實變函式論的起點。

拉格朗日也是分析力學的創立者。拉格朗日在其名著《分析力學》中，在總結歷史上各種力學基本原理的基礎上，發展達朗貝爾、歐拉等人研究成果，引入了勢和等勢面的概念，進一步把數學分析套用於質點和剛體力學，提出了運用於靜力學和動力學的普遍方程，引進廣義坐標的概念，建立了拉格朗日方程，把力學體系的運動方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變為以能量為基本概念的分析力學形式，奠定了分析力學的基礎，為把力學理論推廣套用到物理學其他領域開闢了道路。

他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉對稱軸上的定點轉動(拉格朗日陀螺)的歐拉動力學方程的解，對三體問題的求解方法有重要貢獻，解決了限制性三體運動的定型問題。拉格朗日對流體運動的理論也有重要貢獻，提出了描述流體運動的拉格朗日方法。

拉格朗日的研究工作中，約有一半同天體力學有關。他用自己在分析力學中的原理和公式，建立起各類天體的運動方程。在天體運動方程的解法中，拉格朗日發現了三體問題運動方程的五個特解，即拉格朗日平動解。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動問題，提出了彗星起源假說等。

近百餘年來，數學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源於拉格朗日的工作。所以他在數學史上被認為是對分析數學的發展產生全面影響的數學家之一。

拉格朗日方程

簡介

拉格朗日方程：對於完整系統用廣義坐標表示的動力方程，通常系指第二類拉格朗日方程,是法國數學家J.-L.拉格朗日首先導出的。

通常可寫成：

式中 T為系統用各廣義坐標 qj和各廣義速度q' j所表示的動能； Qj為對應於 qj的廣義力; N(=3 n- k)為這完整系統的自由度； n為系統的質點數； k為完整約束方程個數。

從虛位移原理可以得到受理想約束的質點系不含約束力的平衡方程，而動靜法(達朗貝爾原理)則將列寫平衡方程的靜力學方法套用於建立質點系的動力學方程，將這兩者結合起來，便可得到不含約束力的質點系動力學方程,這就是動力學普遍方程。而拉格朗日方程則是動力學普遍方程在廣義坐標下的具體表現形式。

拉格朗日方程可以用來建立不含約束力的動力學方程，也可以用來在給定系統運動規律的情況下求解作用在系統上的主動力。如果要想求約束力，可以將拉格朗日方程與動靜法或動量定理(或質心運動定理)聯用。

通常，我們將牛頓定律及建立在此基礎上的力學理論稱為牛頓力學(也稱矢量力學)，將拉格朗日方程及建立在此基礎上的理論稱為拉格朗日力學。拉格朗日力學通過位形空間描述力學系統的運動，它適合於研究受約束質點系的運動。拉格朗日力學在解決微幅振動問題和剛體動力學的一些問題的過程中起了重要的作用。

套用

用拉格朗日方程解題的優點是：①廣義坐標個數通常比x坐標少，即N<3n，故拉氏方程個數比直角坐標的牛頓方程個數少，即運動微分方程組的階數較低，問題易於求解；②廣義坐標可根據約束條件作適當的選擇，使力學問題的運算簡化，並且不必考慮約束力；③T和L都是標量，比力的矢量關係式更易表達，因此較易列出動力方程。