簡介
數論與幾何學一樣，是最古老的數學分支。歐幾里得的《幾何原本》的七、八、九章，講的就是數論。
對於素數的研究，在數論中占有很重要的位置。
理論
我們知道，正整數是由1、素數（也叫質數）與合數這三類數組成的。一個大於1的正整數，如果只能被1和它本身整除，不能被其他正整數整除，這樣的正整數就叫做素數；否則就叫做合數。在整數1、2、3、4、……中，去掉1與全部合數，所得的表：
2，3，5，7，11，13，17，稱為素數表。在素數表中，除了第一個素數2，其餘都是奇素數。現在世界上最好的素數表是查基爾編的，列有不大於50000000（五千萬）的素數。
關於素數，最古老的問題是：素數有多少個？歐幾里得在《幾何原本》中，最先證明了素數有無窮多個。他的巧妙的證明方法，閃耀著智慧的光輝。2000多年來，人們雖也提出過一些別的證法，但是直到今天，還是歐幾里得的證明方法最好。
歐幾里得證明素數有無窮多個的方法，大意是：
假若素數只有有限多個，設最大的一個是P，從2到P的全體素數是：
2，3，5，7，11……，P。
所有的素數都在這裡，此外再沒有別的素數了。
現在，我們來考察上面從2到P的全體素數相乘、再加上1這個數，設它是A，即
A=2×3×5×7×11×……×P+1。
A是一個大於1的正整數，它不是素數，就是合數。
如果A是素數，那么，就得到了一個比素數P還要大的素數，這與素數P是最大素數的假設矛盾。
如果A是合數，那么，它一定能夠被某個素數整除，設它能被g整除。
因為A被從2到P的任何一個素數除，餘數都是1，就是都不能整除，而素數g是能整除A的，所以素數g不在從2到P的全體素數之中。這說明素數g是一個比素數P更大的素數，這又與P是最大的素數的假設矛盾。
上面的證明否定了素數只有有限多個的假定，這就證明了素數是無窮多個。
這個證明的構思非常巧妙，它的基本思路是：既然對於無論多大的素數，都一定有比它更大的素數，那當然素數就是無窮多個了。
素數雖然有無窮多個，但是在自然數中，它是排列得相當稀的。人們證明了這樣一個道理：無論給定一個多大的正整數，比方說100億萬，一定能找到一個正整數，在這個正整數中，一個素數也沒有。如果你不是說100萬，而是說100億萬，這個結論也成立。
意義
這個定理的證明，在構思上與證明素數無窮相象。
素數雖然有無窮多個，但人們能具體寫出來的，總是有限個。因此，找一個比現在所知道的最大素數更大的素數，是人們經常探討的難題之一。
