簡介
數論中以分析方法作為研究工具的一個分支。分析方法在數論中的套用可以追溯到18世紀L.歐拉的時代。歐拉證明了，對實變數s>1有恆等式 （式中s取遍所有素數）成立，並且由此推出素數有無窮多個。歐拉恆等式是數論中最主要的定理之一。隨後P.G.L.狄利克雷創立了研究數論問題的兩個重要工具，即狄利克雷（剩餘）特徵標與狄利克雷L函式，奠定了解析數論的基礎。
解析數論是在初等數論無法解決的情況下發展起來的，因為，如果有了一個可以表達所有素數的素數普遍公式，一些由解析數論範圍的內容，就自動轉到初等數論的範圍內。例如孿生素數猜想。以及哥德巴赫猜想。
聯繫數論和複變函數論的橋樑是所謂的佩隆公式(Peron). 很多數論問題可以歸結為某類求和函式的估計問題，而利用佩隆公式，就可以將求和函式的估計轉變為某類複變函數的零點、極點的分布情況的估計。 大多數數論問題最終都能歸結為L函式的性質討論。
令π（x）表示不超過.x的素數的個數，關於π（x）的研究是素數論的中心問題，黎曼在數論中引入複變函數ζ(s)，稱為黎曼ζ函式（見數論），他對這個函式作了深入的研究，得到了許多重要結果。特別是 ，他建立了一個與ζ（s）的零點有關的表示π(x）的公式，因此研究素數分布問題的關鍵在於研究ζ（s）的性質特別是它的零點的性質。這樣，黎曼開創了解析數論的一個新時期。黎曼提出一個猜想：ζ(s)的所有復零點都在直線Res=1/2上，這就是所謂黎曼猜想。它是尚未解決的最著名的數學問題之一。
1896年，J.阿達馬與C.J.dela瓦萊-普桑用解析方法同時並且相互獨立地證明了素數定理即當x→∞時，π（x）～.x/lnx （這個問題最早由高斯提出），從此解析數論開始得到迅速發展。1949年，A.塞爾伯格與P.愛爾特希分別給出了對於素數定理的一個十分初等的分析證明，當然它是很複雜的。
解析數論起源於素數分布、哥德巴赫猜想、華林問題以及格點問題的研究、解析數論的方法主要有復變積分法、圓法、篩法、指數和方法、特徵和方法、密率等。
Fibonacci函式，1+1=2.1+2=3.2+3=5。。。。。
解析數論的基礎
歐拉恆等式(*)是數論中最重要的定理之一，是算術基本定理的解析等價形式，揭示了素數p和自然數n之間的積性關係。他還提出了母函式法，利用冪級數來研究整數分拆，這導致圓法和指數和方法的產生。其後，P.G.L.狄利克雷套用分析方法於1837年解決了首項與公差互素的算術級數中有無限多個素數的問題，又於1839年推證出二次域的類數公式。他創立了研究數論的兩個重要工具,即狄利克雷(剩餘)特徵標與狄利克雷l函式，奠定了解析數論的基礎。
1859年,（G.F.）B.黎曼發表了一篇關於不大於x的素數個數π(x)的著名論文《論不大於一個給定值的素數個數》，這是他在數論方面公開發表的惟一的文章。他把恆等式(*)的右邊的級數記作ζ(s)，所不同之處是把s看作復變數。現在稱ζ(s)為黎曼ζ函式。他認為素數性質可以通過複變函數ζ(s)來探討，並對複變函數ζ(s)做了深刻的研究，得到許多重要結果。特別是他建立了一個與ζ(s)的零點有關的表示π(x)的公式。因此研究素數分布的關鍵在於研究複變函數 ζ(s)的性質,特別是ζ(s)的零點性質。這一傑出的工作，是複變函數論的思想和方法套用於數論研究的結果。黎曼開創了解析數論的新時期，也推動了單複變函數論的發展。在文章中他提出了一個猜想：ζ(s)的所有復零點都在直線 Res=1/2上。這就是所謂黎曼猜想。它是至今沒有解決的最著名的數學問題之一。它的研究對解析數論和代數數論的發展都有極其深刻的影響。
解析數論的發展
解析數論1896年,J.（-S.）阿達馬與C.de la瓦萊-普桑嚴格地按照黎曼提出的方法和結果,用整函式理論,同時證明了素數定理：當x→∞時,π(x)～x(lnx)-1。從此解析數論開始得到迅速發展，而在此以前的30年中卻無顯著進展。 在數論中套用分析方法，大致有兩種情況：一是數論問題本身不涉及分析概念。這類問題又可分為兩種情形，或者有一些問題不套用分析方法就不能解決，例如，上述的狄利克雷的兩個工作、三素數定理（見數論、堆壘數論）、華林問題；或者有一些問題套用分析方法可使證明簡單、可以對問題做定量研究，例如，套用母函式法對整數分拆的一些恆等式的證明、歐拉證明素數有無窮多個的分析方法導致H.默滕斯證明了關於素數平均分布的三個定理、堆壘數論的許多問題引入分析方法證明解的存在性，得
出解數的漸近公式或上下界估計。二是數論問題本身必須用分析概念才能表達清楚。例如，關於素數定理,即不大於x的素數個數π(x)等於多少的問題（見素數分布）。此外，利用分析概念還可提出新的數論問題，例如各種數論函式的階估計及均值估計（見格點問題）。
解決一個數論問題需要用到多深的分析工具，或者能否不用分析工具。這也是數學家努力為之探索的問題。例如，在1949年A.賽爾伯格與P.愛爾特希不利用ζ函式，且除了極限、ex和lnx的性質外,也不需要其他的分析知識，給出了素數定理一個十分初等的分析證明。當然它是很複雜的。 解析數論起源於素數分布、哥德巴赫猜想、華林問題以及格點問題的研究。解析數論的方法主要有復變積分法、圓法、篩法、指數和方法、特徵和方法、密率等。模形式論與解析數論有密切關係。
