定義
次微分
次微分設是一個實變數凸函式，定義在實數軸上的開區間內。這種函式不一定是處處可導的，例如絕對值函式。但是，從右面的圖中可以看出（也可以嚴格地證明），對於定義域中的任何x，我們總可以作出一條直線，它通過點(x,f(x))，並且要么接觸f的圖像，要么在它的下方。這條直線的斜率稱為函式的次導數。
凸函式f:I→ R在點x的次導數，是實數c使得：
次微分對於所有I內的x。我們可以證明，在點x的次導數的集合是一個非空閉區間[a,b]，其中a和b是單側極限
次微分
次微分它們一定存在，且滿足a≤b。
所有次導數的集合[a,b]稱為函式f在x的次微分。
例子
概述
次微分考慮凸函式 。在原點的次微分是區間[−1, 1]。 x<0時，次微分是單元素集合{-1}，而 x>0，則是單元素集合{1}。
單元素集合
數學上， 單元素集合是由唯一一個元素組成的集合。例如，集合 {0} 是個單元素集合。注意，集合諸如 {{1,2,3}} 也是單元素集合，唯一的元素是一個集合（這個集合可能本身不是單元素集合）。
一個集合是單元素集合，若且唯若它的勢為1。在自然數的集合論定義中，數字 1 就是定義為單元素集合 {0}。
在公理集合論中，單元素集合的存在性是空集公理和對集公理的結果：前者產生了空集{}，後者套用於對集 {} 和 {}，產生了單元素集合 {{}}。
若A是任意集合，S是單元素集合，則存在唯一一個從A到S的函式，該函式將所有A中的元素映射到S的單元素。
在範疇論中，單元素集合上構建的結構通常作為終對象或零對象：
•上述說明所有單元素集合S都是集合範疇的終對象。該範疇中沒有其它終對象。
•任意單元素集合都能夠轉化成拓撲空間（所有子集都是開集）。這些單元素拓撲空間是拓撲空間範疇的終對象。該範疇中沒有其它終對象。
•任意單元素集合都能夠轉化成群（唯一的元素作為單位元）。這些單元素是群範疇的零對象。群範疇中沒有其它零對象或終對象。
性質
•凸函式在x可導，若且唯若次微分只由一個點組成，這個點就是函式在x的導數。
•點x是凸函式f的最小值，若且唯若次微分中包含零，也就是說，在上面的圖中，我們可以作一條水平的“次切線”。這個性質是“可導函式在極小值的導數是零”的事實的推廣。
次微分次梯度
次微分次導數和次微分的概念可以推廣到多元函式。如果 是一個實變數凸函式，定義在歐幾里得空間 R內的凸集，則該空間內的向量 v稱為函式在點 x的次梯度，如果對於所有 U內的 x，都有：
次微分
次微分所有次梯度的集合稱為次微分，記為。次微分總是非空的凸緊集。
歐幾里得空間
歐幾里得幾何是在約公元前300年，由古希臘數學家歐幾里得建立的角和空間中距離之間聯繫的法則。歐幾里得首先開發了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里得的公理被編排到幾何原本。
這些數學空間可以被擴展來套用於任何有限維度，而這種空間叫做 n維歐幾里得空間（甚至簡稱 n 維空間）或 有限維實內積空間。
這些數學空間還可被擴展到任意維的情形，稱為 實內積空間（不一定完備），希爾伯特空間在高等代數教科書中也被稱為歐幾里得空間。 為了開發更高維的歐幾里得空間，空間的性質必須非常仔細的表達並被擴展到任意維度。 儘管結果的數學非常抽象，它卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質，根本性質是它的平面性。 另外儲存在其他種類的空間，例如球面非歐幾里得空間，相對論所描述的四維時空在重力出現的時候也不是歐幾里得空間。
緊空間
在數學中，如果歐幾里得空間 R的子集是閉合的並且是有界的，那么稱它是 緊緻的。例如，在 R中，閉合單位區間[0, 1]是緊緻的，但整數集合 Z不是（它不是有界的），半開區間[0, 1)也不是（它不是閉合的）。
更現代的方式是稱一個拓撲空間為 緊緻的，如果它的開覆蓋都有有限子覆蓋。海涅-博雷爾定理證明了這個定義對歐幾里得空間子集等價於“閉合且有界”。
注意：某些作者如布爾巴基使用術語“ 預緊緻”，並把“緊緻”保留給是豪斯多夫空間並且“預緊緻”的拓撲空間。一個單一的緊緻集合有時稱為 緊統（compactum）。在法語的數學著作中，quasi-compact是指緊緻，compact是指緊緻且豪斯多夫，不同於英語。
參見
•弱導數
•弱微分
