定義:對於給定的函式f(x)和g(x),若存在一個可逆函式(“可逆函式”即存在反函式的函式)φ(x),使得如下等式成立:
f(x)=φ-1(g(φ(x))),
則稱f(x)和g(x)關於φ(x)相似,記作 f~φ~g (其中,φ應該寫在波浪線上方),其中φ(x)稱為橋函式。
橋函式具有如下性質:
1*.若f(x)和g(x)關於φ(x)相似,則g(x)和f(x)關於φ-1(x)相似;
2*.若f(x)和g(x)關於φ(x)相似,g(x)和h(x)關於ψ(x)相似,則f(x)和h(x)關於ψ(φ(x))相似;
3*.若f(x)和g(x)關於φ(x)相似,則f(x)的n次疊代和g(x)的n次疊代關於φ(x)相似,
即fn(x)和gn(x)關於φ(x)相似。
若已知f(x),確定g(x)與φ(x)可以從不動點來考慮。
若f(λ)=λ(λ為某一實數),則稱λ是f(x)的一個不動點,若f(x)=φ-1(g(φ(x))),則φ(f(x))=g(φ(x))因而φ(λ)=φ(f(x))=g(φ(λ)),可見φ(λ)是g(x)的不動點,也就是橋函式φ具有下列性質:它將f的不動點λ,映成g的不動點φ(λ),通常為了便於求g(x)的n次疊代,g(x)常取為ax,x+a,ax2(a乘以x的平方),ax3(a乘以x的立方)等等,這時g(x)的不動點為0或∞,此時,若f(x)只有唯一不動點α時,則可考慮取φ(x)=x-α(或(x-α)分之一),這時φ(α)=0(或∞);若f(x)有兩個不動點α、β(α≠β),則可考慮取φ(x)=(x-α)/(x-β),這裡φ(α)=0,φ(β)=∞。
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