格點問題
正文
或稱整點問題，研究一些特殊區域甚至一般區域中的格點的個數。格點又稱整點，是指坐標均為整數的點。格點問題是數論中的一類重要問題，起源於以下兩個著名問題的研究：①狄利克雷除數問題。設x>1，D2(x)表區域1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x上的格點個數。1849年，P.G.L.狄利克雷證明了 D2(x)=xlnx+(2у-1)x+Δ(x)，這裡
,у是歐拉常數。這一問題的目的是要求出使餘項估計 
成立的λ的下確界θ。因為
,其中d(n)是除數函式,所以把這一格點問題稱為狄利克雷除數問題。 ②圓內格點問題。 設x>1,A2(x)表圓
上的格點數。C.F.高斯證明了A2(x)=πx+R(x),這裡
。求使餘項估計
成立的λ的下確界α的問題, 稱為圓內格點問題或高斯圓問題。顯有
,這裡r2(n)是
的全體整數解的個數。利用初等方法,1903年,Γ.Ф.沃羅諾伊證明了θ ≤1/3；1906年,W.謝爾平斯基證明了α≤1/3；利用較深的分析方法，1922～1937年，J.G.范·德·科普特首先證明了 α≤37/112,θ ≤27/82；1934～1935年，E.C.蒂奇馬什證明了α≤15/46；1942年，華羅庚證明了α≤13/40；1963年，陳景潤、尹文霖證明了α≤12/37；1950年遲宗陶和1953年H.-E.里歇先後證明了θ ≤15/46，他們所用的方法都是閔嗣鶴提出的;1963年,尹文霖證明了θ≤12/37；1985年, Γ.Α. 科列斯尼克證明了θ≤139/429，1985年,W.G.諾瓦克證明了α≤139/429。另一方面,1916年G.H.哈代已證明α≥1/4；1940年，A.E.英厄姆已證明θ≥1/4。一些數學家還對餘項Δ(x)和R(x)的均值做了估計。猜測θ=α=1/4,但是至今未能證明。這兩個問題的直接推廣是k維除數問題、 球內格點問題以及k 維橢球內的格點問題等。對一般格點問題也有不少研究。關於這些問題中國數學家做了不少工作。 關於一般平面區域的格點問題，M.V.賈爾尼科推廣高斯的方法後於1924年證明了:設Г是可求長的約當閉曲線，其長為l，其所圍面積為A；N是Г內及其上的格點數，則有│N-A│<l。
參考書目
華羅庚著:《指數和的估計及其在數論中的套用》,科學出版社，北京，1963。
