格點問題

格點問題

格點問題,或稱整點問題,是指研究一些特殊區域甚至一般區域中的格點的個數。

格點問題

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或稱整點問題,研究一些特殊區域甚至一般區域中的格點的個數。格點又稱整點,是指坐標均為整數的點。格點問題是數論中的一類重要問題,起源於以下兩個著名問題的研究:①狄利克雷除數問題。設x>1,D2(x)表區域1≤u≤x,1≤v≤x,uv≤x上的格點個數。1849年,P.G.L.狄利克雷證明了 D2(x)=xlnx+(2у-1)x+Δ(x),這裡格點問題,у是歐拉常數。這一問題的目的是要求出使餘項估計 格點問題 成立的λ的下確界θ。因為格點問題,其中d(n)是除數函式,所以把這一格點問題稱為狄利克雷除數問題。 ②圓內格點問題。 設x>1,A2(x)表圓格點問題上的格點數。C.F.高斯證明了A2(x)=πx+R(x),這裡格點問題。求使餘項估計格點問題成立的λ的下確界α的問題, 稱為圓內格點問題或高斯圓問題。顯有格點問題,這裡r2(n)是格點問題的全體整數解的個數。利用初等方法,1903年,Γ.Ф.沃羅諾伊證明了θ ≤1/3;1906年,W.謝爾平斯基證明了α≤1/3;利用較深的分析方法,1922~1937年,J.G.范·德·科普特首先證明了 α≤37/112,θ ≤27/82;1934~1935年,E.C.蒂奇馬什證明了α≤15/46;1942年,華羅庚證明了α≤13/40;1963年,陳景潤、尹文霖證明了α≤12/37;1950年遲宗陶和1953年H.-E.里歇先後證明了θ ≤15/46,他們所用的方法都是閔嗣鶴提出的;1963年,尹文霖證明了θ≤12/37;1985年, Γ.Α. 科列斯尼克證明了θ≤139/429,1985年,W.G.諾瓦克證明了α≤139/429。另一方面,1916年G.H.哈代已證明α≥1/4;1940年,A.E.英厄姆已證明θ≥1/4。一些數學家還對餘項Δ(x)和R(x)的均值做了估計。猜測θ=α=1/4,但是至今未能證明。這兩個問題的直接推廣是k維除數問題、 球內格點問題以及k 維橢球內的格點問題等。對一般格點問題也有不少研究。關於這些問題中國數學家做了不少工作。
關於一般平面區域的格點問題,M.V.賈爾尼科推廣高斯的方法後於1924年證明了:設Г是可求長的約當閉曲線,其長為l,其所圍面積為A;N是Г內及其上的格點數,則有│N-A│<l。
參考書目
 華羅庚著:《指數和的估計及其在數論中的套用》,科學出版社,北京,1963。

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