代數幾何
研究多項式方程組在仿射或射影空間裡的公共零點集合的幾何特性的數學分支學科。換言之，它是研究代數簇的。代數幾何與許多其他數學分支有著密切的聯繫。通常假設代數簇V中點的坐標在某個固定域k中選取，k稱為V的基域。V為不可約(即V不能分解成兩個比它小的閉代數子簇的並)時，V上所有有理函式(即兩個多項式的商)全體也構成一個域，稱為V的有理函式域，它是k的一個有限生成擴域。通過這樣的一個對應關係，代數幾何可以看成是用幾何的語言和觀點來研究有限生成擴域。
代數幾何的基本問題就是代數簇的分類。包括雙有理分類與雙正則分類(即同構分類)。若一個代數簇V到另一個代數簇V的映射誘導了函式域之間的同構，則稱該映射為雙有理映射。設有兩個代數簇V，V，若V中有一個稠密開集同構於V的一個稠密開集，則稱V，V是雙有理等價的。這等價於V和V的函式域之間的同構.按這個等價關係對代數簇進行分類就稱為雙有理分類。分類理論是這樣建立的：首先，找出代數簇的雙有理等價類;其次，在這個等價類中找到一個好對象的子集，如非奇異射影簇，對它們進行分類；第三步就是確定一個任意簇與這些好的對象相差多遠。因為任意特徵0的基域上的代數簇都雙有理等價於一個非奇異射影簇，所以為實現這三步，人們往往先找一組與非奇異射影簇對應的整數，稱為它的數值不變數。例如，在射影簇的情形，它的各階上同調空間的維數就都是數值不變數。然後試圖在所有具有相同的數值不變數的代數簇的集合上建立一個自然的代數結構，稱為它們的參量簇，使得當參量簇中的點在某個代數結構中變化時，對應的代數簇也在相應的代數結構中變化.目前，只有代數曲線、一部分代數曲面以及少數特殊的高維代數簇有較完整的分類。
20世紀初期，由於抽象代數方法的引入，抽象域上的代數幾何理論建立起來了。特別是在20世紀50年代，塞爾(Serre，J.P.)把代數簇的理論建立在層的概念上，並建立了凝聚層的上同調理論，這為格羅騰迪克(Grothendieck，A.)隨後建立概形理論奠定了基礎.概形理論的建立使代數幾何的研究進入了一個全新的階段。概形的概念是代數簇的推廣。粗淺地，它允許點的坐標在任意有單位元的交換環中選取，並允許結構層中有冪零元。概形理論把代數幾何和代數數域的算術統一到了一個共同的語言之下，這使得在代數數論的研究中可以套用代數幾何中大量的概念、方法和結果。
20世紀以來，複數域上代數幾何中的超越方法也有重大的進展，例如，德·拉姆(de Rham，G.-W.)的解析上同調理論，霍奇(Hodge，W.V.D.)的調和積分理論的套用，小平邦彥和斯潘塞(Spencer，D.C.)的變形理論以及格里菲思(Griffiths，P.)的一些重要工作。這使得代數幾何的研究可以套用偏微分方程、微分幾何、拓撲學等理論。
概形
概形是代數幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間。更精確地，概形(X，O)是一個環空間，其拓撲空間X有一個開覆蓋{X}，使得(X，O|X)同構於仿射概形Spec Γ(X，O)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態射就是局部環空間的態射。概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇。若概形X有一個仿射開覆蓋{X}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的。這些性質都是概形的局部性質，就是說，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質。若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的。
在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形。帶有態射f：X→S的概形X稱為S概形.若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態射S′→S後，可以得到一個S′概形X=X×S′，稱為S概形X的基擴張。與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念。S概形與態射f：X→S密切相關。不同性質的態射就給出了不同的S概形。例如，設f：X→S是一個態射，若對角浸入X→X×X是閉態射，則稱f是分離態射；若存在S的一個仿射開覆蓋{U}={Spec B}，使得每個f(U)都有一個有限仿射開覆蓋{V}={Spec A}，並且A都是有限生成B代數，則稱f是有限型的；若f(U)=Spec A，A都是有限生成B模，則稱f是有限態射。有限態射是仿射態射。代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。
代數簇
代數簇是代數幾何的另一個基本研究對象。設k是一個域，域k上的代數簇就是一個整的、分離、有限型k概形。這裡的基域k往往被取作代數閉域。若一個代數簇又是射影、擬射影、仿射或正常k概形，則把這個代數簇相應地稱為射影、擬射影、仿射、完備(代數)簇。射影簇必定是完備簇，反之則不然。永田定理斷言：對任意的代數簇X，必存在一個完備簇，使得X→是開浸入。代數簇的概念最早是在20世紀20年代由范·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)和諾特(Noether，E.)等提出的，以後又經過韋伊(Weil，A.)、塞爾(Serre，J.P.)等人的發展，直至格羅騰迪克(Grothendieck，A.)把它納入概形體系，才得到上述的現代定義。
設S是一個概型，φ是概型X到S的態射，則稱X是一個S-概型，如果S=SpecR，則稱X是一個R-概型。設f是概型X到Y的態射，如果△： X→XX，x→(x，x)是閉的浸入，則稱X在Y上可分，若Y=SpecR，則稱X是可分的。態射f：X→Y稱為有限型的，如果存在Y的仿射開覆蓋{Y|λ∈∧} 使得每個X=f(Y) 可以被有限個仿射開子集覆蓋，而X=SpecB，Yλ=SpecA每個B是有限生成的A代數。若X→SpecR是有限型的，則稱X是R-代數的。設k是一個代數閉域，V是一個整的，可分的在k上代數的k-概型，則我們稱V是k上的一個代數簇。設(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是態射，如果→f=φ，則稱f是S-態射。設X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密開子集，φ：U→Y是R-態射}，在E上引入等價關係 (U，φ)～ (V，φ) 若且唯若對於U∩V的某個稠密開子集W，|w=Φ|W。E/～的元素稱為有理映射，若Y=Spec[X]，則稱為有理函式，X上所有有理函式的集合記作Rat(X)。若V是域k上的代數簇，則Rat(V)稱為V的函式域。設f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，則稱f是控制的。設V，W是代數簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恆等映射，則稱f是雙有理映射。V到V的所有雙有理映射作成一個群，稱為V的雙有理同構群。如果有V到W的雙有理映射，則稱V與W雙有理等價。一維的代數簇稱為曲線，二維的代數簇稱為曲面。曲面S上的曲線C是曲面S的一維閉子簇。
有理簇
有理簇(rational variety)是雙有理等價於代數閉域上的射影空間的代數簇。它當然是最簡單的代數簇。它可以等價地定義為代數閉域k上的代數簇X，X的有理函式域k(X)同構於域k的有限生成純超越擴張。完備光滑有理簇的小平維數必為-∞，但反之不對。虧格等於0(即小平維數是-∞)的完備光滑曲線一定是有理曲線。當X是完備光滑曲面時，X是有理曲面的充分必要條件是χ(O)=1，P(X)=0。但是，對於維數超過2的情形，尚無一般的判別法則。
