概念
代數對應(algebraic correspondence)是代數簇間的一種映射。設X和Y是兩個代數簇，X×Y的一個扎里斯基閉子集Z就給出了X與Y間的一個代數對應。對於p∈X，q∈Y，若(p，q)∈Z，則稱p與q互相對應.若Z不可約，並且存在X的一個扎里斯基開子集U，使得U中的每個點僅對應於Y中惟一的點，則稱對應Z是從X到Y的有理映射。若Z又是從Y到X的有理映射，則稱這個對應是雙有理的。
代數簇
設S是一個概型，φ是概型X到S的態射，則稱X是一個S-概型，如果S=SpecR，則稱X是一個R-概型。設f是概型X到Y的態射，如果△： X→XX，x→(x，x)是閉的浸入，則稱X在Y上可分，若Y=SpecR，則稱X是可分的。態射f：X→Y稱為有限型的，如果存在Y的仿射開覆蓋{Y|λ∈∧} 使得每個X=f(Y) 可以被有限個仿射開子集覆蓋，而X=SpecB，Yλ=SpecA每個B是有限生成的A代數。若X→SpecR是有限型的，則稱X是R-代數的。設k是一個代數閉域，V是一個整的，可分的在k上代數的k-概型，則我們稱V是k上的一個代數簇。設(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是態射，如果→f=φ，則稱f是S-態射。設X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密開子集，φ：U→Y是R-態射}，在E上引入等價關係 (U，φ)～ (V，φ) 若且唯若對於U∩V的某個稠密開子集W，|w=Φ|W。E/～的元素稱為有理映射，若Y=Spec[X]，則稱為有理函式，X上所有有理函式的集合記作Rat(X)。若V是域k上的代數簇，則Rat(V)稱為V的函式域。設f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，則稱f是控制的。設V，W是代數簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恆等映射，則稱f是雙有理映射。V到V的所有雙有理映射作成一個群，稱為V的雙有理同構群。如果有V到W的雙有理映射，則稱V與W雙有理等價。一維的代數簇稱為曲線，二維的代數簇稱為曲面。曲面S上的曲線C是曲面S的一維閉子簇。
有理映射
有理映射是代數簇上的有理函式概念的推廣。但是，它並不是集合意義下的映射。設X和Y都是代數簇，下述二元組(U，φ)的等價類稱為一個有理映射φ：X→Y，這裡的U是X的非空開子集，φ：U→Y是一個態射，(U，φ)與(V，φ)等價，若且唯若φ和φ在U∩V上相重合。當Y是仿射直線時，從X到Y的有理映射就是代數簇X上的有理函式。上述開子集U的並集U~稱為有理映射φ的定義域。U~在φ下的像稱為有理映射φ的像，並被記為φ(X)。當φ(X)在Y內稠密時，φ可以定義有理函式域間的嵌入φ：k(Y)→k(X)；反之，有理函式域的嵌入又可確定從X到Y內的一個有理映射。當φ是k(Y)到k(X)上的同構映射時，φ被稱為雙有理映射。
人物簡介
扎利斯基是美國數學家。1899年4月 24 日生於俄國庫勃林。1918—1920年在基輔大學讀書。1921年去義大利，就讀於比薩(Pisa)大學。當時義大利對外國學生一律免費，這是扎理斯基到義大利就讀的重要原因之一。6個月後轉到羅馬大學，並於1924年獲博士學位;1924—1927年在該校讀博士後。1927年到美國約翰斯·霍普金斯大學任教，直至1945年;1946—1947年為伊利諾斯大學研究教授;1947—1969年任哈佛大學教授，1969年退休。1943年被選為美國全國科學院院士，1948年被選為美國藝術與科學學院院士。1960—1961年任美國數學會副主席，1969—1970年任主席。
扎理斯基在基輔大學學習時就對代數和數論發生了興趣。20世紀20年代的羅馬大學是由G·卡斯泰爾諾沃、F·恩里克斯和F·塞韋里為首的著名的義大利代數幾何學派的中心。因此扎理斯基到義大利以後就把工作重點集中到了代數幾何，而且卡斯泰爾諾沃在當時認為扎理斯基是能把他們的學科向前推進使其更為深刻的人，並將會發現新的方法來克服存在的局限性。但扎理斯基這時仍明顯地傾向代數，他的博士論文就是把所有有理函式y=P(x)/Q(x)進行分類，使得：(1) x能以y的根式解出；(2)任意給定兩個解x和x，則所有其他解都是x和x的有理函式。這一工作充分顯示了他把代數概念(伽羅瓦群)、拓撲概念(基礎群)和古典幾何的“綜合”概念結合起來的能力。這些也成了他一生工作的特點。1927—1935年間，他轉而研究代數簇拓撲，特別是基礎群。當時人們認為所有具有固定個結點(通常二重點)的固定度平面曲線屬一個簡單的代數簇，而扎理斯基發現具有固定度和固定個奇點(二重點中第二複雜型)的曲線可能屬於若干個簇，並舉出了度為6且有6個奇點的兩曲線，它們的補的基本群不同構的例子。
