概念
雙有理映射(birational mapping)是一種特殊的有理映射。它誘導了兩個代數簇的有理函式域間的同構。雙有理映射φ：X→Y誘導了X和Y的兩個稠密開子簇間的同構，而且反之亦正確。這樣的兩個代數簇被稱為是雙有理等價的或雙有理同構的。利用雙有理等價關係對代數簇進行分類是代數幾何的根本問題之一。雙有理映射的最簡單的例子是具有非異中心的爆發(或稱獨異變換)。對於維數≤2的光滑完備簇，雙有理映射一定可分解為上述的爆發或其逆映射的複合映射。
有理映射
有理映射是代數簇上的有理函式概念的推廣。但是，它並不是集合意義下的映射。設X和Y都是代數簇，下述二元組(U，φ)的等價類稱為一個有理映射φ：X→Y，這裡的U是X的非空開子集，φ：U→Y是一個態射，(U，φ)與(V，φ)等價，若且唯若φ和φ在U∩V上相重合。當Y是仿射直線時，從X到Y的有理映射就是代數簇X上的有理函式。上述開子集U的並集U~稱為有理映射φ的定義域。U~在φ下的像稱為有理映射φ的像，並被記為φ(X).當φ(X)在Y內稠密時，φ可以定義有理函式域間的嵌入φ：k(Y)→k(X);反之，有理函式域的嵌入又可確定從X到Y內的一個有理映射。當φ是k(Y)到k(X)上的同構映射時，φ被稱為雙有理映射。
有理函式
有理函式是指由有理式表示的函式，即兩個多項式函式的商(分母不是零多項式)。一元有理函式是由R(x)=P(x)/Q(x)表示的實函式或複函數，這裡的P，Q是多項式，Q(x)0.當Q的次數n≠0時，稱為有理分式;n=0時，即為多項式。有理函式的導數仍是有理函式；它的原函式可以用有理函式、對數函式與反正切函式的有限組合表示。如果P，Q的次數分別為m，n，有的文獻把數偶(m，n)或數max{m，n}稱為R(x)的次數。
代數簇
代數簇是代數幾何的基本研究對象。設k是一個域，域k上的代數簇就是一個整的、分離、有限型k概形。這裡的基域k往往被取作代數閉域。若一個代數簇又是射影、擬射影、仿射或正常k概形，則把這個代數簇相應地稱為射影、擬射影、仿射、完備(代數)簇。射影簇必定是完備簇，反之則不然。
設S是一個概型，φ是概型X到S的態射，則稱X是一個S-概型，如果S=SpecR，則稱X是一個R-概型。設f是概型X到Y的態射，如果△： X→XX，x→(x，x)是閉的浸入，則稱X在Y上可分，若Y=SpecR，則稱X是可分的。態射f：X→Y稱為有限型的，如果存在Y的仿射開覆蓋{Y|λ∈∧} 使得每個X=f(Y) 可以被有限個仿射開子集覆蓋，而X=SpecB，Yλ=SpecA每個B是有限生成的A代數。若X→SpecR是有限型的，則稱X是R-代數的。設k是一個代數閉域，V是一個整的，可分的在k上代數的k-概型，則我們稱V是k上的一個代數簇。設(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是態射，如果→f=φ，則稱f是S-態射。設X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密開子集，φ：U→Y是R-態射}，在E上引入等價關係 (U，φ)～ (V，φ) 若且唯若對於U∩V的某個稠密開子集W，|w=Φ|W。E/～的元素稱為有理映射，若Y=Spec[X]，則稱為有理函式，X上所有有理函式的集合記作Rat(X)。若V是域k上的代數簇，則Rat(V)稱為V的函式域。設f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，則稱f是控制的。設V，W是代數簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恆等映射，則稱f是雙有理映射。V到V的所有雙有理映射作成一個群，稱為V的雙有理同構群。如果有V到W的雙有理映射，則稱V與W雙有理等價。一維的代數簇稱為曲線，二維的代數簇稱為曲面。曲面S上的曲線C是曲面S的一維閉子簇。
同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
