斐波納契數

斐波納契數，是指斐波那契發現的數。

斐波納契數
指斐波那契(Leonardo Fibonacci, 約1175-約1240)發現的數。
在1202年斐波納契的著作《算盤書》里記載著兩道有趣的題目。
坐落在義大利比薩的斐波那契雕像
第一個題目：有七個老婦人正去往羅馬。她們每個人都拉著七匹騾子，每匹騾子馱七個袋子，每個袋子裡有七個麵包，每個麵包里有七把刀，每把刀各有七個刀鞘。那么，總共有多少東西正在去往羅馬的路上呢？
第二個題目：有一對兔子，如果每個月生一對小兔子，而剛生下來的兔子兩個月後同樣每個月生一對小兔子，那么，一對兔子一年內總共能生下幾對兔子？
斐波納契數列是我們知道的最早的無窮數列。構成斐波納契數列的每一個數都叫斐波納契數，在日常生活中我們也經常見到斐波納契數列。比如，松球、向日葵、交響樂、古代藝術、電腦、太陽系和股市等
斐波納契數列就是，從0和1開始，前面的數加上這一個數，持續下去，就是斐波納契數列了。你畫一個鸚鵡螺形，就會知道為什麼這個數列很迷人。每個弧形占到的正方形面積就是斐波納契數列。更妙的是，用每個斐波納契數字相除，會求得黃金比的近似數！直到46368除以28567等於1.6180339882！就是最後的2太可惜了，應該等於7。
具體的斐波納契數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，75025等等。
斐波那契並沒有把這個問題和這個數列看得特別重要，在《算盤
書》中兔子問題只不過是書里許多問題中並不特別的其中一個罷了。
但是在此後的歲月中，這個數列似乎和題中的高產兔子一樣，引發了
為數眾多的數學論文和介紹文章（本文似乎也在步此後塵）。不過在
這裡我不想介紹浩如煙海的有關斐波那契數列的數學文章，只想欣賞
大自然的造化。
在現實的自然世界中，《算盤書》里那樣的神奇兔子自然是找不
到的，但是這並不妨礙大自然使用斐波那契數列。本期封面上是起絨
草橢球狀的花頭，你可以看見那上面有許多螺旋。很容易想像，如果
從上面俯視下去的話，這些螺旋從中心向外盤旋，有些是順時針方向
的，還有些是逆時針方向的。為了仔細觀察這些螺旋，我們挑選另一
種具有類似特點的植物——薊，它們的頭部幾乎呈球狀。在下面這個
圖裡，標出了兩條不同方向的螺旋。我們可以數一下，順時針旋轉的
具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部
（和左邊那條旋轉方向相同）螺旋一共有13條，而逆時針旋轉的則有
21條。而下面這幅圖中的順逆方向螺旋數目則恰好相反。
具有13條逆時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部
以這樣的形式排列種子、花瓣或葉子的植物還有很多（最容易讓
人想到的是向日葵），下面的圖片是一些看起來明顯的例子（可以點
擊看大圖），事實上許多常見的植物，我們食用的蔬菜如青菜，包心
菜，芹菜等的葉子排列也具有這個特性，只是不容易觀察清楚。儘管
這些順逆螺旋的數目並不固定，但它們也並不隨機，它們是斐波那契
序列中的相鄰數字。這樣的螺旋被稱為斐波那契螺旋。
自然界中各種各樣的斐波那契螺旋
這些植物懂得斐波那契數列嗎？應該並非如此，它們只是按照自
然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“最佳化方式”，它
能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至於在圓心處擠了
太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對
於許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程
中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出
來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度
應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360
度之比是黃金分割數1.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定
了斐波那契螺旋的產生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時
能達到89，甚至144條。
由於是自然規律而並非抽象的數學或哲學原理決定了植物各種器
官的排列圖樣；另外還有具體環境的影響，比如地形、氣候或病害，
你並不總能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生長得很健康的植物，
也難免有這樣那樣的缺陷。仔細觀察上面的圖片，你會發現螺旋的中
心經常是一片混亂。