基本介紹
數乘向量
數乘向量 數乘向量 數乘向量 數乘向量 數乘向量 數乘向量 數乘向量 數乘向量數乘向量：（1）對於向量 a= 與實數k，在兩點O，A所確定的直線上取一點B，使有向線段 與 的數量之比等於k(當k>0時， 與 同向；當k<0時， 與 反向；當k=0時， = 0)，這時向量 b= 用 b=k a表示，這種運算稱為向量的 數量乘法，簡稱數乘，向量b稱為數k與向量 a的乘積。
（2）實數λ與向量 a的乘積λ a是一個向量，它的模為|λ a|=|λ|·| a|；λ a的方向，當λ>0時與 a同向，當λ<0時與 a反向，當λ=0時有λ a= 0，我們把這種運算稱為數乘向量。
特別地，當λ =-1時，記(-1) a =- a。
數乘向量由定義知λ a與 a是共線向量，任意非零向量 a都可寫作a=| a| a ，或 。這說明非零向量 a乘以它的模的倒數，便可得到與它同方向的單位向量 a ，簡稱為把 a單位化 。
數乘向量的相關性質
數量與向量的乘法滿足如下的運算規律:
(1) 1· a= a；
(2)結合律：λ(μ a) = (λμ) a；
(3)第一分配律：(λ+μ) a=λ a+μ a；
(4)第二分配律：λ( a+ b)=λ a+λ b。
其中， a， b為任意向量，λ,μ為任意實數。
證明：(1)，(2)根據定義直接驗證。
(3)如果 a = 0或λ,μ,λ+μ中至少有一個為零，那么等式顯然成立，因此只需證明當 a≠ 0,λμ≠0,λ+μ≠0的情形。
①如果λμ>0，則(λ+μ) a,λ a, μ a同向，因此有
|(λ+μ) a|=|λ+μ|| a|=(|λ|+|μ|)| a|=|λ|| a|+|μ||a|=|λ a|+|μ a|=|λ a+μ a|，
所以有(λ+μ) a=λ a+μ a。
②如果λμ<0，不失一般性，不妨設λ>0,μ<0，再討論λ+μ>0和λ+μ<0兩種情形。下面只證明前一種情形。
設λ>0,μ<0,λ+μ>0，這時-μ>0，因λ+μ>0，由①有：
(λ+μ) a+(-μ) a=[(λ+μ)+(-μ)] a=λ a，
所以(λ+μ) a=λ a-(-μ) a =λ a+μ a。
(4)如果λ=0或 a, b之中有一個為0，等式顯然成立。
下面證明λ≠0, a≠ 0, b≠ 0。
數乘向量
數乘向量①若 a, b共線，當 a, b同向時，取 ；當 a, b反向時，，
顯然有 a=m b。於是有
λ( a+ b)=λ(m b+ b)=λ[(m+1) b]=[λ(m+1)] b=(λm+λ) b=(λm) b+λ b=λ(m b)+λ b=λ a+λ b.
數乘向量
數乘向量②若 a, b不共線，如圖1所示，顯然由 a, b為兩邊構成的△OAB與由a,b為兩邊構成的△OA₁B₁相似，因此對應的第三邊所成向量滿足,因,所以λ( a+ b)=λ a+λ b。
從向量加法與數乘向量的運算規律知，對於向量也可以像實數與多項式那樣去運算 。
圖1