基本介紹
線性變換的概念
數乘變換設V為數域F上的線性空間，是V到V的一個映射（變換），且滿足條件：
（1）對任意的 α， β∈V有：
數乘變換 數乘變換 數乘變換( α+ β)=( α)+( β)；
（2）對任意的 α∈V及任意的實數k∈F，有：
數乘變換 數乘變換(k α)=k( α)，
數乘變換則稱為V的 線性變換。
數乘變換設V是數域F上的線性空間。定義變換為
數乘變換( α)= α， α∈V，
數乘變換稱為 恆等變換或單位變換；定義變換為
數乘變換( α)= 0， α∈V，
稱為 零變換，它們都是線性變換 。
數乘變換的概念
數乘變換設V是數域F上的線性空間，k∈F，定義變換 為
數乘變換( α)= k α， α∈V，
稱為 數乘變換，數乘變換是線性變換，故線性變換的性質也是數乘變換的性質，參見線性變換。顯然當k=1數乘變換即為恆等變換，k=0數乘變換即為零變換 。
相關性質
數乘變換(1)設是V的一個線性變換，則：
數乘變換 數乘變換 數乘變換( 0)= 0， (- α)=- α。
數乘變換 數乘變換 數乘變換因為( 0)=(0· α)=0( α)= 0，
數乘變換 數乘變換 數乘變換 數乘變換(- α)=((-1) α)=(-1)( α)=-( α)。
數乘變換(2)線性變換保持向量的線性組合和線性關係式不變，即
若 β是 α₁， α₂，…， α的線性組合：
β=k₁ α₁+k₂ α₂+…+k α，
數乘變換 數乘變換 數乘變換 數乘變換則有( β)=k₁( α₁)+k₂( α₂)+…+k( α)，
數乘變換 數乘變換 數乘變換 數乘變換( β)仍然是( α₁)，( α₂)，…，( α)的線性組合，且表出係數相同。
同樣若對於 α₁， α₂，…， α，有：
k₁ α₁+k₂ α₂+…+k α= 0，
則有：
數乘變換 數乘變換 數乘變換k₁( α₁)+k₂( α₂)+…+k( α)= 0。
(3)線性變換把線性相關的向量組變為線性相關的向量組。
注 線性變換可能把線性無關的向量組變為線性相關的向量組，譬如零變換 。
