攝動函式的展開問題
正文
在天體力學中，所有的分析方法都要對受攝運動方程進行積分，除個別情況外，在積分前，一般必須把攝動函式展開為時間以及所選擇變數的顯函式，這就是攝動函式的展開問題。這個問題是攝動理論中的基本課題之一。攝動函式展開式的收斂快慢，在一定程度上決定相應的攝動理論的使用效果。經典的展開方法是將攝動函式展開為冪級數和三角級數的混合級數，它又稱泊松級數。以三體問題為例，攝動函式中包含被攝動天體和攝動天體的軌道要素和時間，而時間則隱含在天體的近點角內。在瞬時軌道為橢圓的情況下，攝動函式展開為兩個天體的軌道半長徑之比α=α/α ′、偏心率е、е′和兩個軌道面交角I一半的正弦sin(I/2)的冪級數,以及平近點角和其他軌道要素(或有關輔助量)的三角級數。當α、е和е′接近於1以及I 較大時，展開式收斂得很慢，甚至不收斂。因此，攝動函式的展開問題實際上就是改進展開式的收斂性問題。二十世紀四十年代以後，不少人研究了各種改進方法。研究得最多的是α接近於1的情況。主要採用的方法有：①用複變函數的線性變換使奇點離變數的套用範圍更遠些，從而改進展開式的收斂性;②分出形式為(1—α2)-s 的因子或有關項（s為正有理數）,再討論其餘項的展開，從而迴避α接近於1時的困難；③以中間軌道的攝動函式展開式作為基礎，在相應的改正項中只出現天體之間距離的正冪次項，因而不存在α接近於1的困難；④找出既適用於α<1，也適用於α>1的更一般的展開式，以便適用於投影相交軌道情況（如海王星和冥王星的軌道）。以上幾種方法都處於試用階段，但已取得很多成果。
對於I較大時產生的困難，主要用兩種辦法解決:①不展開為sin(I/2)的冪級數,而展開為I的三角級數；②展開為cosI的冪級數。另外，不少人用兩個天體的瞬時軌道對某慣性參考面的傾角i和i′來代替I。對於偏心率e和e′較大時產生的困難，雖然有一些解決辦法,例如用e=sinφ、e′=sinφ′,把攝動函式展開為φ和φ′的三角級數，但效果仍不好，故這個困難依然存在。正因為如此，對於大偏心率軌道的攝動問題（如一些彗星、月球火箭等），還只能用數值方法進行研究。除上述困難外，當兩個天體的瞬時軌道的平均角速度接近通約時，在積分受攝運動方程也會出現小分母的困難，這可用共振理論的方法解決。
