在點x=0,uε(0)=0,而u夊(0)=1/ε。如用正則攝動法求其漸近解堚ε(x)=u0(x)+εu1(x)+…,則堚ε(x)=1。顯然是錯誤的。 第二類,在微分方程的係數中具有轉向點的奇點問題。例如, 方程u″+λ2(1-x2)u=0,其中λ是大參數(或寫成 ,這裡,ε是小參數)。此時方程的解當│x│<1時表現為振盪型的,當│x│>1時表現為指數型的(發散的或衰減的)。 x=±1稱為轉向點。在轉向點附近解急劇變化,用正則攝動法求得的漸近解將在轉向點產生奇性,非一致有效。 處理上述問題的方法稱為奇異攝動方法。自1935年以來它有了很大發展,成為套用數學中的一個重要領域。對於第一類邊界層型奇異攝動問題有匹配法,邊界層校正法(又稱合成展開法)和多重尺度法。對於轉向點問題有由G.文策爾、H.A.克拉默斯和L.N.布里尤安於1926年各自獨立地提出的方法,後來稱之為WKB方法,和先後由R.E.蘭格(1931、1934)和F.W.J.奧爾弗(1954)發展起來的LO方法以及B.∏.馬斯洛夫提出來的方法(1965)。 近十多年來,研究奇異攝動問題的數值方法也有了發展,根據奇異攝動問題的特點構造特殊的數值方法(有限差分方法和有限元方法) ,以便取得良好的數值結果。 中國力學工作者在對攝動方法的發展有開創性貢獻。錢偉長在1948年解圓板大撓度問題時,即提出現在稱為合成展開法的方法,郭永懷在1953年把由龐加萊和萊特希爾發展起來的方法推廣套用於邊界層效應的粘性流問題;錢學森1956年又深入闡述了這個方法的重要性,並稱之為PLK方法。 參考書目 A. H. Nayfeh,Perturbation Methods, John Wiley & Sons,New York, 1973. R.E.O'Malley,Introduction to Singular Perturbations,Academic Press, New York, 1974. Tsien Hsue-Shen,The Poincare-Lighthill-Kuo Method,Advan. Appl. Meth.,4, pp. 281~349,1956.