擴展
擴展的實數軸 擴展的實數軸 擴展的實數軸對任意實數 a，定義 −∞ ≤ a≤ +∞，就成了一個全序集。這種集合有種非常好的性質，就是其所有子集都有上確界和下確界：這是一個完備格。全序關係在上引入了拓撲。在這個拓撲中，集合 U是 +∞ 的鄰域，若且唯若它包含集合 { x| x≥ a}，這裡 a是某個實數。−∞ 的鄰域類似。是個緊緻的豪斯多夫空間，與單位區間 [0,1] 同胚。
擴展的實數軸R上的算術運算可以部分地擴展到，如下：
•若a ≠ −∞，則a + ∞ = ∞ + a = ∞
•若 a ≠ +∞，則a − ∞ = −∞ + a = −∞
•若a > 0，則a × +∞ = +∞ ×a = +∞
•若a < 0，則a × +∞ = +∞ ×a = −∞
•若 a > 0，則a × −∞ = −∞ × a = −∞
•若 a < 0，則a × −∞ = −∞ × a = +∞
•若 −∞ < a < +∞，則a ÷±∞ = 0
•若 0 < a < +∞，則±∞ ÷ a = ±∞
•若 −∞ < a < 0，則+∞ ÷ a = −∞
•若 −∞ < a < 0，則−∞ ÷ a = +∞
通常，不定義 ∞ − ∞，0 × ±∞ 和 ±∞ ÷ ±∞。同時，1 ÷ 0 也 不定義為 +∞ （因為無足夠強的理由說明為何不定義為 −∞ ）。這些規則是根據無窮極限的性質確定的。
擴展的實數軸注意，在這些定義下，不是域，也不是環。
性質
經過上述定義，擴展的實數軸仍有很多實數的性質：
•a + (b + c) 和 (a + b) +c 相等或同時沒有定義。
•a + b 和b + a 相等或同時沒有定義。
•a(bc) 和(ab)c 相等或同時沒有定義。
•ab 和ba相等或同時沒有定義。
•a(b + c) 和 ab +ac 若都有定義則相等。
•若 a ≤ b 且 a + c 和b +c 都有定義，則a +c ≤ b +c。
•若a ≤ b 且 c > 0 且ac 和 bc 都有定義，則 ac ≤ bc。
擴展的實數軸通常，只要表達式都有定義， R的算術性質在上也成立。
擴展的實數軸按照極限，一些函式可以自然地擴展到。例如，可以定義exp(−∞) = 0，exp(+∞) = +∞，ln0 = −∞，ln(+∞) = +∞ 等等。
