指數符號

指數符號(Sign of power)的種類繁多,且記法多樣化。我國古代數學家劉徽於《九章算術注》(263年)內以「冪」字表示指數,且延用至今。我國古代稱【一數自乘」為「方」 ,而「乘方」一詞則於宋代以後才開始採用。於我國古代,一個數的乘方指數是以這個數於籌算(或記錄籌算的圖表)內的位置 來確定的,而某位置上的數要自乘多少次是固定的,也可說這是最早的指數記號。 古埃及人以「」表示一數自乘一次(莫斯科紙草書)。古希臘人丟番圖以Δr表示x 2,Kr表示x3,ΔrΔ 表示x4,ΔKr表示x5等。

基本內容

阿拉伯人哈基則以詞mal表示x2;kacb表示x3;ml ml 表示x4;ml kacb 表示x5等。

1572年,邦別利(1526-1572)以表示未知量,以表示其平方,以 表示其立方。1586年,斯提文(1548-1620)分別以 表示上述之意,如1表示x3, 2表示2x2等。1591年,韋達(1540-1603)把A2及A3分別記作 A.quad及A.cubum。

現代意義的指數符號

數學家

至十七世紀,具有「現代」意義的指數符號才出現。最初的,只是表示未

知數之次數,但並無出現未知量符號。如卡達迪於 1610年出版的代數書中,以表示 5x3.8x4=40。比爾吉則把羅馬數字寫於 係數數字之上,以表示未知量次數,如以 表示8x6+12x5-9x4+10x3+3x2-7x-4 。其後,克卜勒等亦採用了這符號。

羅曼斯開始寫出未知量的字母,如以A(4)+B(4)+4A(3)inB+6A(2)inB(2)+4AinB(3) 表示A4+B4+4A3B+6A2B2+4AB3 。法國人埃里岡的記法大致相同,以係數在前指數在後的方式表 示。如以a3表示a3,2b4表示2b4,2ba2 表示2ba2。1631年,哈里奧特(1560-1621)改進了 韋達的記法,以aa表示a2,以aaa表示a3 等。1636年,居於巴黎的蘇格蘭人休姆(James Hume)以小羅馬 數字放於字母之右上角的方式表達指數,如以Aiii 表示A3。這表示方式除了用的是羅馬數字外,已與 現在的指數表示法相同。

一年後,笛卡兒(1596-1650)以較小的印度阿拉伯數字放於右上角來表示指數,如5a4,便是現今通用的指數 表示法。不過,他把b2寫成bb,並且只給出正整指數冪。其後雖有各種不同的指數符號,但他的記法逐漸流行,且 只把bb寫成b2,沿用至今。

分指數冪

分指數冪最早見於奧雷姆的《比例算法》一書內,他以表示2,以9p表示9 ,以2p表示2 。他以及斯蒂文等人還提及過負指數冪,但正式的分指數和負指數都是英國人沃利斯(1616-1703)給出的,且他亦是西方最先採用負數指數的人。他在1655年出版的《無窮小算術》中載有:「平 方數倒數的數列, ,,…的指數為-2,…;平方根倒數的,,,…的指數為- ,…」,這是一大進步,只是他並無真正採用過a-1= ,等指數符號。

斯提文曾於十七世紀以及 分別表示平方根及立方根。但現行的分指數和負指數符號為牛頓 創設的。他於1676年6月13日給倫敦皇家學會秘書長奧丁堡轉交萊布尼茲的信中提到:「因代數學家把aa,aaa,aaaa寫作a2 ,a3,a4等,所以我把 ,,寫作 ,,,又把,, 寫作a-1,a-2,a-3,把寫作。

虛數指數

最先採用虛數指數的是義大利人法尼亞諾(1682-1766),他於1719年發現了關係式。而萊布尼茲更於1679年在寫給惠更斯的信中討論了方程:xx-x=24 ,xz+zx=b,xx+zz=c ,且引入了變指數。

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