打鉤函式概述
是形如y=ax+b/x的函式，（這裡這裡為了研究方便不妨令a>0,b>0)是一種教材上沒有但考試老喜歡考的函式（鬱悶）。
定義域：{x|x≠0}
學了均值不等式後，可以研究一下它的性質！
當x>0時，當ax=b/x時y有最小值，也就是x=根號(b/a)。同時它是奇函式，可以推導出x<0時的性質。
令k=根號(b/a)，那么，
增區間：{x|x≤-k}∪{x|x≥k}
減區間：{x|-k≤x<0}∪{x|0< x≤k}
打勾函式圖象減增，是兩個鉤，所以叫雙鉤函式。
最值也可根據基本不等式：x + a/x >=2(根號（X)*a/根號（x)).
另外，由於該函式圖像本身就是雙曲線，不如就叫做“雙曲線函式”（不是雙曲函式），這樣命名更能體現該函式的本質屬性。
對打鉤函式性質的研究
打勾函式性質的研究離不開均值不等式。說到均值不等式，其實也是根據二次函式得來的。我們都知道，(a-b)^2≥0，展開就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，兩邊同時加上2ab，整理得到(a+b)^2≥4ab，同時開根號，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab)。現在把ax+b/x套用這個公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab)，這裡有個規定：若且唯若ax=b/x時取到最小值，解出x=sqrt(b/a)，對應的f(x)=2sqrt(ab)。我們再來看看均值不等式，它也可以寫成這樣：(a+b)/2≥sqrt(ab)，前式大家都知道，是求平均數的公式。那么後面的式子呢？也是平均數的公式，但不同的是，前面的稱為算術平均數，而後面的則稱為幾何平均數，總結一下就是算術平均數絕對不會小於幾何平均數。這些知識點也是非常重要的。
其實用導數也可以研究打勾函式的性質。不過首先要會負指數冪的換算，這也很簡單，但要熟練掌握。舉幾個例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x為分母的時候可以轉化成負指數冪。那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx-1，求導方法一樣，求的的導函式為a+(-b)x^-2，令f'(x)=0，計算得到b=ax2，結果仍然是x=sqrt(b/a)，如果需要的話算出f(x)就行了。平時做題的時候用導數還是均值定理，就看你喜歡用那個了。不過注意均值定理最後的討論，有時ax≠b/x，就不能用均值定理了。
上述研究都是建立在x>0的基礎上的，不過打勾函式是奇函式，所以研究出正半軸圖像的性質後，自然能補出對稱的圖像。如果出現平移了的問題（圖像不再規則），就先用平移公式或我總結出的平移規律還原以後再研究，這個能力非常重要，一定要多練，爭取做到特別熟練的地步。
打勾函式實際是反比例函式的一個延伸，至於它是不是雙曲線還眾說不一。
面對這個函式 f(x)=ax+b/x,我們應該想得更多，需要我們深入探究：（1）它的單調性與奇偶性有何套用？而值域問題恰好與單調性密切相關，所以命題者首先想到的問題應該與值域有關；（2）函式與方程之間有密切的聯繫，所以命題者自然也會想到函式與方程思想的運用；（3）眾所周知，雙曲線中存在很多定值問題，所以很容易就想到定值的存在性問題。因此就由特殊引出了一般結論；繼續拓展下去，用所猜想、探索的結果來解決較為複雜的函式最值問題。
重點內容
其實對勾函式的一般形式是：
f(x)=x+a/x(a>0)
定義域是:{x|x不等於0}
值域是：{y|y∈(-∞,-2根號a)∪(2根號a,+∞)}
當x>0,有x=根號a,有最小值是2根號a
當x<0,有x=-根號a,有最大值是：－2根號a
對鉤函式的解析式為y=x+a/x(其中a>0),它的單調性討論如下：
設x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-(x2+a/x2)=(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)(x1x2-a)/(x1x2)
下面分情況討論
(1)當x1<x2<-根號a時，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函式在(-∞,-根號a)上是增函式
(2)當-根號a<x1<x2<0時，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函式在(-根號a,0)上是減函式
(3)當0<x1<x2<根號a時，x1-x2<0,x1x2-a<0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)，所以函式在(0，根號a)上是減函式
（4）當根號a<x1<x2時，x1-x2<0,x1x2-a>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，所以函式在(根號a，+∞)上是增函式
定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)
由函式的單調性可得其值域為(-∞,-2根號a)∪(2根號a,+∞)
解題時常利用此函式的單調性求最大值與最小值。
