對稱性和守恆律
正文
對稱性是物質的狀態和運動規律在對稱變換（如鏡面反射轉動等）下的性質。它已成為物理學中一個最普遍而深刻的觀念。對稱性的觀念是人們在觀察自然界各種事物的幾何形狀時逐步形成的。一個球在圍繞通過中心的任何軸轉動時，都不改變它的形狀，稱它具有轉動變換的對稱性。在觀察晶體時，可以看到各種規則的多而體，經過一定面的鏡面反射或是繞特定軸轉動特定角度，不改變它們的幾何形狀，顯示了各種對稱的組合。按照對稱方式的不同，可以把晶體分為32類，如果再考慮磁性，還可以找到58類不同的晶體對稱方式；總共有90類磁性晶體的對稱方式。
接連幾次對稱變換仍然是一個對稱變換，這些對稱變換之間滿足結合律。而且存在恆等變換和對稱變換的逆變換。因此對稱變換的總和構成一個對稱群。在一個群的所有對稱變換下不變或協變的狀態(或運動規律)具有這個群的對稱性。例如球具有轉動群的對稱性。
如果物質的運動規律具有某一連續變換群的對稱性，同時它的能量最低的狀態（基態或真空態）是對稱的，那么與這個群的每一個生成元對應的物理量都會是一個守恆量。物質的運動形態可以千變萬化，不斷轉化，而反映它們共性的守恆物理量將始終不變。守恆定律是物質運動過程中所必須遵守的最基本的法則。
最普遍的對稱性是時空幾何對稱性和量子力學的代數對稱性。所有的物質都在時空中運動，在不同時間和地點重複相同的實驗反覆證明了，對一個與周圍物質切斷了相互作用的孤立的系統，時空坐標原點的選取和坐標軸方向的選取都不會影響這一系統的運動規律。時空表現為均勻和各向同性的。坐標系原點的平移和坐標軸的轉動都是對稱變換，它們構成非齊次洛倫茲群，又稱龐加萊群。在龐加萊群中，與平移生成元對應的物理量為能量動量矢量，與轉動生成元對應的物理量為角動量。能量、動量守恆以及角動量守恆與時空均勻性和各向同性直接相關，它不依賴於物質的具體內容。不論是微觀的還是巨觀的，是粒子還是場，所有在均勻和各向同性的時空中運動的物質都必須遵守能量、動量和角動量的守恆律。
一個自由運動的微觀粒子，不受其他粒子相互作用的影響，它的內部性質由與對稱群相聯繫的守恆量來描寫，而與時空相關的特性，則由對稱群的不變數來描寫。粒子的能量、動量和角動量雖然都是守恆量，但它們不是洛倫茲群的不變數,當坐標系進行洛倫茲變換時,在相對作勻速直線運動的不同坐標繫上觀測粒子的能量、動量和角動量會得到不同的數值。但是粒子的質量和它的總自鏇則是洛倫茲群的不變數。只有用不變數才能準確地對微觀粒子和時空相關的性質進行分類。
粒子和反粒子-內部結構模型圖量子系統的狀態由複數波函式來描寫，它的運動服從海森伯方程或薛丁格方程。對量子力學的運動規律，通過複數共軛可將粒子和反粒子聯繫起來，形成電荷共軛的變換，但它不是一個嚴格的對稱變換，在弱相互作用中，它遭到了破壞（見C 宇稱）。
最重要的量子力學代數對稱變換是多個相同粒子之間的交換。這個對稱變換群是分立的置換群。交換的對稱性與所有已知的粒子分為玻色子和費密子兩大類這一實驗事實密切相關。玻色子的波函式在粒子交換下是完全對稱的,具有整數自鏇,滿足玻色－愛因斯坦統計；而費密子的波函式在粒子變換下是全反對稱的，具有半整數自鏇，滿足費密－狄喇克統計。
量子力學狀態常常顯示幾何的特徵形態，例如在庫侖場中運動的電子具有球諧函式的對稱性。處於同一量子態的系統是全同的。兩個或多個全同的子系統（如原子）構成一個總系統（如分子）時，交換的對稱性使得總系統的量子態成為全對稱的或是全反對稱的。這種全同性的效應是各種多體現象得以發生的重要原因。例如只有電子的全同性和它的波函式的全反對稱性才能解釋元素周期表的排列,而4 He的全同性和它波函式的全對稱性則是超流動性發生的根本原因（見全同粒子）。
除了對每一種物質都適用的普遍對稱性外，一些特定的物質形態有它自身獨有的對稱性。例如晶體的對稱性，對不同的晶體是不同的。又如夸克(見強子結構)有SU(3)色群的對稱性，而輕子就沒有【見SU(3)對稱性】。現在已經知道的對稱性都列在表1中，其中給出了對稱群和相應的守恆量。
對稱性和守恆律在低能區的現象中，作用較強的力常常具有更高的對稱性，這種對稱性遭到比較弱的作用力的破壞。例如核子的結合力具有同位鏇的對稱性,這就是說,質子和中子在同位鏇空間的轉動下互相轉化，而核力具有在這一轉動下的對稱性。因此如果沒有電磁和弱相互作用，單由核力不能區別質子和中子，它們的電荷、質量以及其他種種差別都是由電磁和弱相互作用引起的。稱同位鏇是近似的對稱性，它遭到電磁和弱相互作用的破壞。
從上面的例子也可以看到，對稱性反映不同物質形態在運動中的共性，而對稱性的破壞才使得它們顯示出各自的特性。如同建築和圖案一樣，只有對稱而沒有它的破壞，看上去雖然很有規則，但同時顯得單調和呆板。只有基本上對稱而又不完全對稱才構成美的建築和圖案。大自然正是這樣的建築師。當大自然構造像 DNA這樣的大分子時，總是遵循複製的機制，將分子按照對稱的螺鏇結構聯接在一起，而構成螺鏇形結構的空間排列是全同的。但是在複製過程中，對精確對稱性的細微的偏離就會在大分子單位的排列次序上產生新的可能性，從而使得那些更便於複製的樣式更快地發展，形成了發育的過程。由此可以看到，對稱性的破壞是事物不斷發展進化、變得豐富多彩的原因。
在近似對稱變換中，改變空間、時間軸方向的宇稱P、時間反演T以及電荷共軛C,占有重要的地位。理論上預言宇稱P和電荷共軛C在弱相互作用中遭到破壞的是李政道和楊振寧，而在實驗中證實它的是吳健雄，他們三人都是中國血統的科學家。對有洛倫茲群對稱性的定域相互作用，雖然P、T或C遭到破壞，乘積CPT總是一個對稱變換。實驗表明,時間反演T和CP的破壞程度比C和P的破壞程度要弱得多，但它也可能由強作用真空態的性質所引起，這是一個尚未完全認識清楚的問題。
上面說過，粒子的內部特徵由守恆量描寫。如果粒子在產生時所帶有的強相互作用守恆量的特徵在隨後的運動過程中為弱相互作用所破壞，就會發生複雜的物質轉化現象。一個有名的例子是K0 和噖0 介子的系統。噖0 介子在強相互作用下是K0 的反粒子，它們具有相反的奇異數。但是，弱相互作用破壞了電荷共軛和奇異數的守恆，因而K0 和噖0 介子變得可以互相轉化。事實上通過強相互作用產生出來的噖0 介子一產生之後，就會由於弱作用而形成壽命互不相等的KS和KL介子, 它們都是由K0 和噖0 介子共同組成的狀態。經過一段時間，短壽命的Ks介子差不多全部衰變，剩下的幾乎全都是長壽命的KL介子，而在剩下的KL介子中，大約一半的成分竟是原先產生噖0 時並不存在的K0 介子！
所有的粒子都是相應的場的量子，所以可以說，物質的基本形態是場。場量在所有的時空點都存在，如果場的對稱變換是在時空所有點上一齊進行的，這樣得到的對稱性為整體對稱性；如果在時空的每一點獨立地進行對稱變換，則所得到的對稱性稱為定域對稱性。
連續的整體對稱導致守恆流，滿足守恆方程，如電流守恆方程。守恆流是四維時空的矢量，它沿時間軸的分量稱為荷密度。荷密度對三維空間的積分是一個守恆量,稱為守恆荷,它不隨時間變化。場的能量、動量、角動量以及電荷等都是相應的整體對稱性的守恆荷。
可以同時測量的守恆量構成物質的狀態參量組。由於守恆律，物質運動變化過程中存在選擇定則，只有在相同守恆量的狀態之間可以進行轉化。例如電荷為 e的狀態不會轉變成為電荷為2e的狀態。
一般還存在與狀態參量不能同時測量的守恆量和對稱變換，它們把兩個狀態的運動聯繫起來。在這種對稱變換中最重要的一個是時間反演，它把沿時間前進的運動過程與它的逆過程聯繫起來。它雖是一個近似的對稱變換，但對絕大多數過程，已是一個足夠好的對稱變換，它導致正過程和逆過程之間的細緻平衡，並由此導出輸運係數之間的對稱關係，成為非平衡統計力學的基礎。但是，現在還未徹底明了，為什麼微觀可逆的力學規律一定導致巨觀不可逆的統計力學。
最早發現的定域對稱性是電磁場的規範對稱性。不同時空點上獨立進行的對稱變換隻有通過由規範場表示的平行移動才能互相進行比較和聯繫。因此，定域對稱性要求質量為零的矢量規範場（例如電磁場）的存在，這是它區別於整體對稱性最顯著的特點。與電磁場對應的對稱群是阿貝耳U(1)群，它只有一個生成元，對應一個矢量規範場。楊振寧和R.L.密耳斯最早把定域對稱的觀念套用於非阿貝耳群，得到楊－密耳斯規範場。非阿貝耳規範場有很多獨特的性質。與電磁場不一樣，它傳遞的作用力隨著距離的減少越來越弱，形成所謂漸近自由的現象。同時，隨著距離的增加，很可能相互作用越來越強，而產生所謂禁閉的現象。現在大多數物理學家都猜測物質世界的四種基本相互作用力無一例外地都是由規範場傳遞的。
場量和連續介質的狀態參量一般有多個分量，組成一個矢量空間，叫做場量空間。場量作為時空點的函式，可以看作時空流形到場量空間的映像。這個映像可以按照場量任意連續變化下的拓撲不變性質進行分類，這樣得到在最一般的連續變化下的對稱性質，相應的守恆量是拓撲荷。已經知道，非阿貝爾規範場的真空具有不平凡的拓撲性質，形成θ真空,它可能引起時間反演T和CP不守恆。
磁單極子-內部結構模型圖在場論和凝聚態物理中，有很多有限大小的孤立子結構，例如磁渦線（見第二類超導體）、磁單極子等等，它們有不平凡的拓撲性質。拓撲數的守恆使得具有最小拓撲數的單個孤立子在運動過程中成為穩定的粒子。拓撲性孤立子的存在和凍結是許多系統由有序態到無序狀態相變的原因。
對稱性的自發破缺 對稱性顯示物質世界的統一性，對稱性的自發破缺則顯示了它的多樣性。
有兩種對稱破缺的方式。一種是上面討論過的明顯的對稱破缺，它是由較弱的相互作用不具有這種對稱性而引起對較強的相互作用的對稱性的破壞。在這種情況下，作為整體，對稱性是近似的，它只有在可以忽略較弱相互作用的過程中才近似地成立。
另一種更重要的對稱破缺方式稱為對稱性的自發破缺,這時描寫系統動力學的拉格朗日量具有對稱群G的對稱性，但是能量最低的真空態或基態不只一個，而是一組互相不能穿透的退化的狀態,形成群G的表示。由於真空態（基態）影響到在其上運動著的一切事物，一旦真空態已經確定在一個特定的狀態上,群G的對稱性就受到了破壞。例如磁鐵在居里點以下顯示出鐵磁性，它的磁矩指向特定的方向。雖然磁鐵的拉格朗日量是各向同性的，具有轉動群的對稱性，但基態不只一個，相應於磁矩可以指向空間不同方向。當磁鐵由於某種原因已經選定了一個磁矩的特殊方向，在這塊磁鐵上發生的現象就不再是各向同性的了，這時我們說轉動群的對稱性產生了自發破缺。
常常從退化的基態中具體實現的狀態仍然具有 G群的子群H的對稱性。例如磁矩指向z軸方向時，磁鐵仍然可以具有圍繞z軸轉動的對稱性。因此對稱性只在G群除以H群得到的H的陪集G/H上產生了自發破缺。
如果對稱群G是連續變換群，它的生成元有nG個,則當整體對稱性在陪集G/H上產生自發破缺時,必然要伴隨產生 nG-nH個能量隨動量同時趨於零的振盪模式, 其中nH為H群的生成元個數。對相對論性系統來說,內部整體對稱性的自發破缺所產生的這種振盪相應於靜止質量為零的標量粒子，稱為戈德斯通粒子。π 介子的質量雖不為零，但它的性質非常接近戈德斯通粒子，很可能是由於近似整體對稱性自發破缺而形成的。
π 介子-內部結構模型圖如果定域的連續對稱性產生自發破缺，系統中就不再出現靜止質量為零的戈德斯通粒子,而在陪集G/H方向上的nG-nH個規範場將獲得靜止質量。這時靜止質量為零的戈德斯通振盪模將與靜止質量為零的規範場合併起來，組成帶有靜止質量的矢量場，戈德斯通振盪模構成這一矢量場的縱向分量。這一現象稱為
黑格斯機制-內部結構模型圖明顯的對稱破缺的方式不依賴於系統所處的狀態，而對稱性的自發破缺則依賴於系統的狀態。隨著某些條件（例如溫度）的變化，處於對稱性自發破缺狀態的系統常常可以通過相變過渡到對稱的狀態，例如鐵磁和超導在臨界溫度以上都恢復到對稱的狀態。
構成今天世界的粒子很可能處於對稱性自發破缺的相中，它們的質量和相互作用都由這個相決定。在早期宇宙發展過程中，世界很可能處於高度對稱的狀態，那時粒子的性質可能與今天觀察到的很不相同，宇宙經過冷卻和相變才達到今天的樣子。
夸克和輕子之間的對應關係-結構模型圖在最近的粒子物理實驗中，發現夸克和輕子之間很可能有一種對稱的對應關係。這促使人們猜測，它們可能是同一種粒子經過對稱性的自發破缺而形成的。在這種猜測中，質子可能是不穩定粒子，它的壽命雖然很長（塼1032 年）, 但有可能是有限的，會衰變為輕子和介子。現在正在積極地測定質子的壽命，如果得到實驗的證實，這將是粒子物理的又一次重大突破。
質子衰變為輕子和介子-內部結構模型圖