可微映射的奇點理論

可微映射的奇點理論

正文

一門年輕的數學分支，也是現代數學中得到蓬勃發展的領域之一。
追溯其歷史淵源，有20世紀30年代H.M.莫爾斯的臨界點理論，40年代H.惠特尼的微分流形嵌入、浸入有關的奇點的工作，以及Л.С.龐特里亞金與惠特尼等人研究的與示性類有關的奇點方面的工作。這一時期是成果積累和建立一般理論的醞釀階段，也是奇點理論的萌芽時期。

奇點-內部結構模型圖

1955年惠特尼發表了關於把平面映射到平面的映射奇點的工作，它標誌著奇點理論開始作為一門獨立的分支登上了數學的舞台。1956年R.托姆發表了一篇題為《可微映射的奇點》的論文,對以後整個奇點理論的發展提出了一個綱領式的描述。1960年R.托姆在波恩又作了一系列的演講，把他的綱領式的描述更加具體化。從此以後，在這個基礎上奇點理論得到了蓬勃的發展。一方面是理論本身取得了重大進展，如J.N.馬瑟的關於穩定性方面的一系列工作，以及Β.И.阿諾爾德等人關於奇點分類方面的工作；另一方面是奇點理論在自然科學中的套用上也取得了出人意料的突破，如60年代末R.托姆提出的突變理論，70年代阿諾爾德把奇點分類套用在物理學中的振盪積分的計算上。
正常點、奇點　無窮多次可微的映射簡稱為可微映射。設ƒ:Rn →Rm 是可微映射,ƒ=(ƒ1,ƒ2,…,ƒm),點α∈Rn ，矩陣的秩稱為ƒ在點α的秩，記作rankƒ。如果rankƒ＝min(n, m),稱α是ƒ的正常點；若rankƒn，m)，就稱α為ƒ的奇點。
奇點的研究有著廣闊的背景。首先，微積分學的基本任務之一是研究函式在一點附近的性態，即所謂局部性質。在微積分中，對可微函式y=ƒ(x)，有下面的結果。
① 如果ƒ(x)在點α的導數ƒ′(α)≠0,即α是ƒ的正常點，則在點α附近ƒ有反函式存在(即反函式定理)。這時ƒ在點α附近的性態很簡單,甚至可以在點α附近另選局部坐標t,x=φ(t)，使得在這個新坐標系中ƒ的分析表達式為：ƒ(φ(t))=t。
② 如果ƒ′(α)=0，即α是ƒ的奇點,那么這時ƒ在點α附近的性態就比較複雜。可分為三種情況:如果ƒ′(α)=0，但ƒ″(α)>0,則ƒ(α)是ƒ在α附近的極小值；如果ƒ′(α)=0，ƒ″(α)<0，則ƒ(α)是ƒ 在α附近的極大值；如果ƒ′(α)=0，但ƒ″(α)=0，而ƒ冺(α)≠0，則α是ƒ 的拐點。
由此可見,正是在奇點附近函式ƒ有著豐富多彩的性質。對於多元可微函式以及微分流形之間的可微映射，情況又如何呢？奇點理論研究這些問題。在數學的許多分支中都要研究各種方程的解集合。例如，在代數學中要研究多項式的零點集，在代數幾何中要研究多變數的多項式方程組的解集，即代數簇。像上面這些學科一樣，局部分析中最一般的問題是研究下面方程組的解集：

　(1)

這裡gi是實值無窮次可微的函式。在這裡由於已知的信息很少，即僅知道這些函式gi是無窮多次可微的，因此情況更複雜，事實上惠特尼證明了歐氏空間Rn 中的任意閉子集都可是可微函式的零點集。Rn 中的閉集可以很複雜，以至難以研究它。究竟是可微映射的什麼性質影響著它自身的零點集的性態呢?例如，考慮方程組(1)，以A記這個方程組的解集。如果在點α∈A，矩陣

　 　(2)

的秩為k,則由隱函式定理就知道在點α附近方程組(1)可解出為顯函式。如設矩陣為滿秩的，那么在點α附近，由方程組(1)就確定出函式

這就是說在點α的一個領域裡點集A是Rn 中的微分子流形，即Rn 中的n－k維光滑曲面。而使得矩陣(2)的秩為k的點就是映射g:Rn →Rk ,g=(g1,g2,…,gk)的正常點。這說明如果點α是映射g=(g1,g2,…,gk)的正常點,那么方程g=0的解集A在點α鄰近就是一微分流形。
再如，設ƒ(x1,x2,…,xn)是可微函式，如果在點α∈Rn 有就稱α為ƒ的臨界點；如果此外還有矩陣是滿秩的，就稱α為ƒ的非退化的臨界點。
考慮方程ƒ(x1,x2,…,xn)=0解集A,α∈A,集A在點α的局部性態如何？30年代M.莫爾斯證明了下述定理：如果點α是ƒ(x1,x2,…,xn)的非退化臨界點,則可在點α附近選取適當的坐標系(y1,y2,…,yn),使得在坐標系(y1，y2,…,yn)中ƒ的分析表達式為：

由此可見,如果α∈A是ƒ的非退化臨界點,則在點α鄰近點集A 就是一個二次錐面。臨界點就是奇點。非退化臨界點是一種特殊類型的奇點。ƒ在點α的奇點性質影響著點集A在點α附近的性態。因此要研究函式方程的解集的性態就必須研究可微映射的奇點。由此也可以看到研究奇點的必要性。
可微映射的芽　設α∈Rn ，考慮確定在點α附近的所有映入Rm 的映射作成的集合，在其中引進等價關係如下：ƒ:U →Rm ,g:V →Rm 是兩個可微映射,U、V是點α的兩個鄰域，如果存在點α的鄰域W，W嶅U ∩V，使得當x∈W 時有ƒ(x)=g(x),則說ƒ和g是等價的。在這個等價關係下的等價類就稱為可微映射在點α的芽。
映射的C∞ 等價　設M、N是兩個微分流形,ƒ、g:M→N是兩個可微映射,如果存在微分同胚h:M→M，k:N→N，使得g=kƒh-1 ，就說ƒ和g是C∞ 等價的。

對可微映射的芽也可類似地定義C∞ 等價性。
分類問題　以C∞ (M,N)記為把M映入N的所有可微映射作成的集合,並以適當的方式賦以拓撲。同樣地,以ε(n,m)記從Rn 到Rm 的所有可微映射在原點的芽構成的集合,也可以適當的方式引入拓撲。C∞ (M,N)稱為映射空間,ε(n，m)稱為映射芽空間。奇點理論的基本問題之一就是確定出空間C∞ (M,N),ε(n,m)在所引進的C∞ 等價關係下的所有等價類，這就是所謂的分類問題。對映射芽希望能在每個類里選一個代表元，並選取適當的坐標系，使得這個代表元在所選的坐標系裡有簡單的表達式，這就是所謂求標準型的問題。
C∞ 等價的映射具有微分同胚的奇點集。按前述惠特尼定理可以推出Rn 中的任何閉集都可以是某個可微映射的奇點集，因此可微映射的分類是這樣廣泛，它比Rn 的所有閉集的分類還要廣，這樣的分類問題顯然難以解決。而從實際背景來講，並不是對所有映射都有興趣，重要的是那些所謂穩定的映射及穩定的映射芽，因此可限於研究穩定的映射。定義:可微映射的ƒ:M→N 稱為C∞ 穩定的，如果存在ƒ在C∞ (M,N)里的領域U，使得U里的每個映射都C∞ 等價於ƒ。
對可微映射芽也可以類似地定義C∞ 穩定性。
例如,ƒ:R→R,y=ƒ(x)=x2 ,考慮ƒ在原點的芽。如果稍微擾動一下ƒ,這裡“稍微”的含義不僅要求其函式值變動很小，而且要求各階導數變動也很小，那么可以看出擾動後的映射與原來的映射ƒ的拓撲圖像是一樣的,即它們是等價的,所以函式y=x2 在原點是穩定的（圖1，其中虛線表示擾動後的映射）。

可微映射的奇點理論

可微映射的奇點理論

再如，ƒ:R→R,y=ƒ(x)=x3 ，考慮ƒ在原點的芽。給函式y=x3 以一個小擾動ux（u為很小的實數），就得函式x3 +ux,當u<0時它在原點附近有兩個臨界點,當u<0時它在原點附近沒有臨界點。因此它們與x3 是不等價的，所以函式y=x3 在原點是不穩定的(圖2)。
從穩定性的定義可見所有穩定映射在C∞ (M，N)里作成開集。
既然只限於研究穩定映射，因此重要的問題是：它們是否有普遍的意義，即它們是否足夠多，使得任何一個映射都可以用穩定的映射來逼近它？對穩定的映射是否能夠分類？
精確地說即：所有穩定映射在映射空間C∞ (M,N)里是否構成稠密集？是否存在有限多個可微映射芽愝:(Rm ，0)→(Rn ,0),這裡m=dimM,n=dimN,使得如果ƒ:M→N是穩定的，那么ƒ在任何點p∈M的芽都等價於這有限多個芽中的一個?
關於第一個問題，J.N.瑪瑟在1971年證明了下面重要定理:設Mm ,Nn 是兩個微分流形。所有逆緊的穩定映射在C∞ (Mm ,Nn )里作成稠密子集的充要條件是m,n滿足下麵條件：①n<7s+8，當s≥4，②n<7s+9，當3≥s≥0，③n<8，當s=-1,④n<6，當s=-2,⑤n<7,當s≤-3。這裡s=n-m。
第二個問題也是瑪瑟解決的，但在這裡只提出兩個在特殊情況下的著名結果。
其一，設Mm 是緊緻的微分流形，則有下面結果。
① 所有穩定映射ƒ:Mm →R在C∞ (Mm ，R)里作成稠密子集。
② ƒ 在點p∈M是穩定的充要條件是可以分別在點p∈M和ƒ(p)∈R的鄰域裡引進局部坐標(x1,x2,…,xm)和y，使得在此坐標系中ƒ為下面m+2個映射之一：

　

③ ƒ:M→R是穩定的充要條件是：ƒ在每點都是穩定的，即ƒ的所有臨界點都是非退化的；ƒ的臨界值兩兩皆不相同。
其二，設M2 是緊緻曲面，則有下面結果。
① 所有穩定映射ƒ:M2 →R2 在C∞ (M2 ,R2 )里作成稠密子集。
②ƒ 在點 p∈M是穩定的充要條件為可分別在p和ƒ(p)的鄰域裡引進局部坐標(x,y)和(u,v)使得ƒ在此坐標系中為下面三個映射之一：u=x，v=y(正常點)，u=x，v=y2 (摺疊點)，u=x,（尖點）。
③ ƒ:M2 →R2 是穩定的充要條件是：ƒ在每點p都是穩定的，摺疊點在ƒ下的像僅成雙地相交成非零角,而且尖點在ƒ下的像不與摺疊點的像相交。
參考書目
　M. Golubitsky and V.Guillemin,Stable Mappings and Their Singularities,Springer-Verlag,New York,1973.
　J.Martinet,Singularities of Smooth Functions and Maps,Cambridge Univ. Press, London, 1982.

配圖

相關連線