簡介
在古代數學中，列方程和解方程是相互聯繫的兩個重要問題。宋代以前，數學家要列出一個方程，如唐代王孝通運用幾何方法列三次方程，往往需要高超的數學技巧、複雜的推導和大量的文字說明，這是一件相當困難的工作。隨著宋代創立的增乘開方法的發展，解方程有了完善的方法，這就直接促進了對於列方程方法的研究，於是，又出現了中國數學的又一項傑出創造——天元術。發展
據史籍記載，金、元之際已有一批有關天元術的著作，如蔣周《益古》、李文一《照膽》、石信道《鈐經》、劉汝鍇《如積釋鎖》等（朱世傑《四元玉鑒》祖頤後序），可惜都已失傳。但在稍晚的李冶和朱世傑的著作中，都對天元術作了清楚的闡述。李冶（1192—1279），真定欒城（今河北欒城縣）人。生於大興府（今北京市）。曾為金代詞賦科進士，鈞州（今河南禹州市）知州，元翰林學士知制誥同修國史。晚年隱居於河北元氏縣封龍山下，收徒講學並勤於著述，與元好問、張德輝交往密切，時人尊稱“龍山三老”。他在數學專著《測圓海鏡》（12 卷）中通過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運算法則，以及文字元號表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。《益古演段》（3 卷）則是他為天元術初學者所寫的一部簡明易曉的入門書。
朱世傑，字漢卿，號松庭，生平不詳。所著《算學啟蒙》3 卷，內容包括常用數據、度量衡和田畝面積單位的換算、籌算四則運算法則、籌算簡法、分數、比例、面積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等，是一部較全面的數學啟蒙書籍。《數學啟蒙》曾傳入朝鮮和日本，產生了一定的影響。
除李冶、朱世傑外，贍思《河防通議》中也有天元術在水利工程方面的套用。
理論
天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現在代數學中列方程的方法基本一致，但寫法不同。它首先要“立天元一為某某”，相當於“設x 為某某”，再根據問題給出的條件列出兩個相等的代數式。然後，通過類似合併同類項的過程，得出一個一端為零的方程。天元術的表示方法不完全一致，按照李冶的記法，方程a0xn+a1xn-1.+an-1x+an=0可寫成如下形式：其中a0，a1，.，an 表示方程各項係數，均為籌算數碼，在常數項旁邊記一“太”字（或在一次項旁邊記一“元”字），“太”或“元”向上每層減少一次冪，向下每層增加一次冪。方程列出後，再按增乘開方法求正實根。影響
天元術的出現，提供了列方程的統一方法，其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。而在歐洲，只是到了十六世紀才做到這一點。此外，宋代創立的增乘開方法又簡化了求解數字高次方程正根的運算過程。因此，在這一時期，列方程和解方程都有了簡單明確的方法和程式，中國古典代數學發展到了比較完備的階段。不僅如此，繼天元術之後，數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組，如李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最後又由朱世傑創立了四元術。
