李冶(1192～1279)

李冶(1192～1279)號敬齋，是中國金、元時期數學家。

李冶(1192～1279)

正文

中國金、元時期數學家。字仁卿，號敬齋，真定欒城(今河北欒城縣)人。生於大興城（北京），童年到元氏縣求學。金哀宗正大七年(1230)中進士，在鈞州（河南禹縣）任知事兩年。1232年,蒙古軍破鈞州,李冶棄職北走,隱居於崞山(今山西崞縣),以研究學問為樂。1251年回到元氏封龍山隱居講學，與張德輝、元裕友善，號稱“龍山三老”。忽必烈大舉進攻南宋的前一年(1259)，曾在上都（內蒙多倫附近）召見李冶，向他請教用人治國之道。1261年忽必烈登位後，欲以高官厚祿聘請他為官，但李冶以老病為名，婉言拒絕。1264年，元朝為編寫遼、金、元歷史，設立翰林學士院。1265年李冶被召為翰林學士，就職一年後，又以老病辭去，繼續在封龍山隱居，直至去世。
李冶從1232年放棄功名後，便終生從事數學研究。他不完全同意理學家的主張，認為朱熹著作不通的地方也很多，他說：“術數雖居六藝之末，而施之人事，則最為切務。”他反對象數神秘主義，說：“謂數為難窮斯可，謂數為不可窮斯不可。”他認為數學來自客觀的自然界，“苟能推自然之理，以明自然之數，則雖遠而乾端坤倪，幽而神情鬼狀，未有不合者矣。”這些思想在當時是十分可貴的，是他在數學上取得重大成就的重要因素之一。
李冶的主要著作有《測圓海鏡》十二卷（1248），《益古演段》三卷(1259)，《泛說》四十卷，《敬齋古今黈》四十卷，《文集》四十卷，《壁書叢削》十二卷。其中《泛說》、《文集》和《壁書叢削》已佚，現傳殘本《敬齋古今黈》有《泛說》的引文。
《測圓海鏡》　這本中國古代的重要數學著作的貢獻主要有兩點。
①天元術　就是設“天元一”為未知數，根據問題的已知條件，列出兩個相等的多項式，經相減後得出一個高次方程(天元開方式),亦即和設x為未知數列方程一樣。其表示法為：在一次項係數旁記一“元”字（或在常數項旁記一“太”字），“元”以上的係數表示各正次冪，"元"以下的係數表示常數和各負次冪（或“太”以上的係數表示各正次冪，“太”以下的係數表示各負次冪）。例如方程2x2+18x+316=0的天元表示式如下：

這在中國傳統數學發展中是一個重要的創造，是符號代數學的開端。自從賈憲提出二項係數表與增乘開方法以後，高次方程求正根的解法得到了迅速發展。高次方程的發展要求解決建立方程的方法。13世紀的數學家們都在力圖解決這個問題。李冶在《敬齋古今黈》中提到東平《算經》和《復軌》兩部著作，前者用仙、明、霄、漢、壘、層、 高、 上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼十九個字來表示正、負次冪和常數；後者用天、地兩個字分別表示正次冪和負次冪。李冶改善這些表示法，從而得到他的方法。從李冶著作的細草中知道，多項式加減是同次冪係數相加或相減，常數乘多項式是將常數乘各項的係數，未知數或未知數冪乘多項式是將“元”字移下一層或數層，未知數或未知數冪除多項式是將“元”字移上一層或數層。多項式除法李冶是用下列方法解決的：根據問題的已知條件列出兩個多項式

若

時，則令

相減後得q1(x)－p2(x)q2(x)=0。關於高次方程的建立方法，由於當時的天元術著作多已失傳，無從比較，僅就《測圓海鏡》引用的洞淵與《鈴經》的方法來看，李冶的方法無疑是更為便捷的。

李冶(1192～1279)

李冶(1192～1279)

②勾股形解法　已知勾股形的三邊、任二邊之和、任二邊之差、及勾股積等14項中的任二項，求解勾股形；求勾股形容方（內接正方形）邊長和容圓（內切圓）直徑等，是古代傳統數學的重要內容之一。李冶在《測圓海鏡》中把勾股形分成14個相似的小勾股形,得到692條“識別雜紀”和 9種容圓（勾上容圓、股上容圓、弦上容圓、勾股上容圓、 勾外容圓、 股外容圓、弦外容圓、勾外容半圓、股外容半圓）的公式（見）。他除按傳統的方法給各勾股形以專門名稱(如通勾股形、邊勾股形、底勾股形等)外，還給每個勾股形以專門的記號（如天日旦勾股形、其勾為日旦,股為天旦,弦為天日等）。這與他在代數中引入天元作為未知數符號一樣，在幾何圖形表示方面他也突破傳統的方法。692條“識別雜紀”實際上相當於692個幾何公式；把一個容圓問題推廣到 9個，雖不是李冶所創，但他顯然是能夠證明 9個容圓公式的。因此無論在內容上或方法上對傳統數學都是較大的擴充與發展。
《益古演段》　李冶在《測圓海鏡》以後寫成的另一部天元術著作，是用天元術解釋蔣周所著的《益古》(約成書於1078～1224)。當時稱方程式各項係數為“條段”，“演段”就是“條段”的演算。在天元術產生以前，這些“條段”的演算是十分複雜的。《益古集》一書，內容十分簡單，都不出二次方程的問題，但由於還沒有掌握天元術，“條段”演算“匿而不盡發”。因此李冶用天元術加以闡明。他在《測圓海鏡》序中曾感嘆地說：“覽吾之編，察吾苦心，其憫我者當百數，其笑我者當千數。”可見天元術在當時學者中仍多不理解，《益古演段》的寫作就有普及天元術的意思。
清代學者對李冶的數學著作曾給以高度的評價。阮元認為《測圓海鏡》是“中土數學之寶書”；李善蘭稱讚它是“中華算書實無有勝於此者”。

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