概述
多值函式定義：設X是一個非空數集，Y是非空數集 ，f是個對應法則 ， 若在X中有至少一個元素x，按對應法則f，Y有至少兩個元素y與之對應，且對X中的所有元素x，按對應法則f，都有Y中的元素y與之對應，則稱f為從X到Y的多值函式，記作y=f(x)。
若對定義域每一個自變數x，其對應的函式值f(x)是唯一的，則稱f(x)是單值函式，反之則稱f(x)是多值函式。關鍵字“每一個”，“唯一的”。
單值函式定義：設X是一個非空數集，Y是非空數集 ，f是個對應法則 ， 若對X中的每個x，按對應法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應 ， 就稱對應法則f是X上的一個函式，記作y=f(x)。習慣上也說y是x的函式。
這兩個定義的區別可抓關鍵字的變化，“唯一的”變為“至少一個”且具備“一對多”的情況。
舉例
多值函式的例子：
（1）若│f(x)│=2x-1，則f(x)=±(2x-1)，一個自變數x對應兩個函式值。
（2）y=sinx (x∈R)在R上的反函式（註：在單值函數裡，是"在[-π/2,π/2]上為多值函式）
（3）y=Arcsinx，一個自變數x對應無數個函式值。
（4）每個大於0的實數都有二個實數的平方根，例如4的平方根是{−2, +2}.，0的平方根是0。
（5）一般而言，許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根，只有0的n次方根為0。
多值函式（6）複對數函式是多值函式。log(a+bi)（ a和b為實數）的值是，其中 n為任意整數。 .
（7）反三角函式為周期性的多值函式，例如
多值函式因此，arctan(1)在本質上會對應許多數值：π/4, 5π/4, −3π/4等。若限制其tan x的定義域在−π/2 < x<π/2，此區域下tan x為單純遞增，則arctan( x)的值域會在−π/2 < y<π/2。這種限定區域下的值稱為主值。
（8）不定積分也可以視為是多值函式，函式 f的不定積分是一個函式的集合，集合中的每一個函式微分後都是 f，因此不定積分存在一積分常數，因為積分常數不論本身數值多少，微分後都是0。
（9）所有的多值函式都是來自非單射的函式，因為原始函式無法完全保存其輸入的資訊，因此函式也就不可逆。
（10）複變函數的多值函式會有分支點，例如n次方根以及對數函式中，0是分支點，而arctan函式中，虛數單位 i和− i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式，將這些函式重新定義為單值函式。若是在實函式的例子中，這個限制的區域一般會稱為函式的主分支。
相關問題
1、函式是指實數集對實數集的映射，而從映射的角度出發是定義域中的每個元素只能有一個像。多值函式的一個X可以有兩個Y與之對應，這是否與函式的定義相違背？
如果定義函式是映射的一種，那么從映射的定義上來看，多值函式不是函式。如果定義函式是一種對應法則（許多課本亦如此定義），那么毫無疑問，多值函式是函式的一類。
所以多值函式是不是函式取決於對於函式的定義。可以說狹義的函式特指單值函式，但是廣義的函式既包含單值函式，也包含多值函式。
你認為的矛盾是已經從某種意義上把多值函式歸為函式範疇了，如果你把術語函式換成對應來就好理解，對應和多值對應從字面意思就能看出他們所指並不一樣，所以並不存在矛不矛盾的話題。就相當於解釋什麼是‘維’‘一維’‘二維’‘多維’一樣。
2、多值函式是不是函式?
問題出在函式的定義里，在早些年出版的教材里，函式的定義里沒有“唯一”兩個字，因此函式就有單值函式與多值函式的區分，按那種定義，多值函式是函式；近些年出版的教材里，函式的定義里有“唯一”兩字，因此函式都是單值的，從這個意義上說，多值函式就不是函式了。
