多值映射

多值映射

正文

從集X到集Y的多值映射是一個對應規律F,按照這個規律,對於X的每個元素x，都能相應地得到Y的一個非空子集F(x),稱為x對於F的像。對於任何嶅X,集稱為集對於F的像；按照F(X)嶅Y或F(X)=Y而說F把X映入或映成Y。特別是,如果每個元素的像集都只含有一個元素，那就是一個單值映射。空間與（單值）映射是拓撲學中兩個最原始的基本概念，拓撲學的基本問題──空間的拓撲分類問題，是基於同胚的概念提出來的。而同胚是單值映射，所以單值映射在拓撲學中的地位,顯然遠比多值映射的地位重要得多。實際上,提出多值映射的概念,出發點不是單純為了推廣,而是著眼於它對其他數學領域的套用。多值映射總是可以化成單值映射來考慮的，即是,如果用2Y表示Y的所有非空子集的集合,那么從X到Y的多值映射F可以視為從X 到2Y的單值映射，記為F :X→2Y。因此,可以像單值映射一樣,對於任何∈2Y定義它的逆像為，所以對於任何嶅2Y,有。設X和Y 都是T1拓撲空間，為了定義F:X→2Y 的連續性，2Y 中的拓撲結構是藉助於Y的拓撲結構 τ（Y）給出的,通常有下面三種：對於任何U 嶅Y，定義,於是以為子基產生的拓撲結構稱為維托利斯拓撲，而以|或為子基產生的拓撲結構則分別稱為上半連續拓撲和下半連續拓撲。在這些拓撲結構下,F:X→2Y(作為單值映射)的連續性分別稱為連續、上半連續或下半連續，即是,F:X→2Y稱為上半連續的,如果;F稱為下半連續的,如果;F稱為連續的,如果它既是上半連續又是下半連續的;這裡F-1<U>+稱為集U的上逆像,而F-1<U>-稱為集U的下逆像。子集空間2Y的拓撲結構對於由此展開的多值映射理論至關緊要,因此,對於子集空間拓撲結構的研究已經成為點集拓撲學中一個有趣的課題。此外,對於多值映射F:X→2Y還可以提出一個連續選擇的問題:在什麼條件下存在單值連續映射ƒ:X→Y,使得?如果F具有連續選擇,那么與F 有關的套用問題幾乎都可以歸結為單值映射的相應問題。
多值映射的一般理論自然是單值映射相應理論的推廣，但前者顯然不如後者那么豐富多彩。多值映射理論的重要性在於它對其他數學分支的套用，特別值得一提的,是多值映射的不動點理論對博弈論的完美套用。x∈X稱為F:X→2X的不動點,如果x∈F(x)。角谷靜夫於1941年首先把關於單值映射的布勞威爾不動點定理推廣到多值映射，下面是一個等價形式：
角谷不動點定理　假設K嶅Rn是非空有界閉凸集,F:K→2K是上半連續多值映射,使得對每個p∈K,F(p)都是K的非空閉凸集，於是F有不動點。
命，於是K=Δ×Δ嶅R2n是非空有界閉凸集。考慮雙線性函式

‖αij‖為實矩陣。對於任何(x,y)∈K，命

可以證明,F(x,y)嶅K是非空閉凸集，F:K→2K上半連續，所以據角谷定理知,存在()∈K，使()∈F()，即

從而

由於相反的不等式是自然成立的，這就證明了矩陣博弈的基本定理：存在∈Δ，使得

現在角谷定理已經得到很大的推廣，在博弈論、泛函分析等分支都有廣泛而重要的套用。
參考書目
　E.Michael,Topologies on Spaces of Subsets,Tran. Amer.Math. Soc., Vol.71, pp.152～182,1951.
　E.Michael, A Survey of Continuous Selections,Lecture Notes in Math.,Vol.171, Springer-Verlag, Berlin, 1970.
　C.Berge,Topological Spaces, Oliver and Boyd, Edinbergh and London, 1963.
　C. Berge,Théorie Générale des Jeux ╜ n Personnes,Gauthier-Villars, Paris, 1957.

配圖

相關連線