商度量空間

商度量空間是度量空間的一種,一個拓撲空間是序列的,若且唯若該空間是個度量空間的商空間。

介紹

在數學中, 度量空間是個具有距離函式的集合,該距離函式定義集合內所有元素間之距離。此一距離函式被稱為集合上的度量。

度量空間中最符合人們對於現實直觀理解的為三維歐幾里得空間。事實上,“度量”的概念即是歐幾里得距離四個周知的性質之推廣。歐幾里得度量定義了兩點間之距離為連線這兩點的直線段之長度。此外,亦存在其他的度量空間,如橢圓幾何與雙曲幾何,而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狹義相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型,作為速度之度量空間。

度量空間還能導出開集與閉集之類的拓撲性質,這導致了對更抽象的拓撲空間之研究。

若 M 為度量空間,其度量為 d,且 ~ 為 M 上之等價關係,則可在商集合 M/~ 上賦加下面的(偽)度量。給定兩個等價類 [x] 與 [y],可定義

商度量空間 商度量空間
商度量空間 商度量空間

其中, (即取從 [x] 至 [y] 經過所有等價類之路徑的最短長度)。一般來說,這僅能定義出一個偽度量,即 d'([x],[y])=0 不一定蘊涵 [x] = [y]。不過,對於良好的等價關係(如將多面體沿著面膠合),則會是個度量。此外,若 M 是個緊緻空間,則該度量在 M/~ 上導出之拓撲為商拓撲。

商度量空間 商度量空間
商度量空間 商度量空間
商度量空間 商度量空間
商度量空間 商度量空間
商度量空間 商度量空間
商度量空間 商度量空間

商度量 d 具有下列泛性質:若 是個度量空間之間的度量映射(即對於所有 x、y, ),滿足當 時,f(x)=f(y) 的條件,則函式 定義為 ,亦會是個度量映射 。

一個拓撲空間是序列的,若且唯若該空間是個度量空間的商空間。

度量空間的推廣

•每個度量空間都自然會是個一致空間,而每個一致空間也都自然會是個拓撲空間。因此,一致空間與拓撲空間均可視為度量空間的推廣。

•若考量上面給定之度量空間的第一個定義,放寬定義中的第二個條件,則可得到偽度量空間。若移除第三個或第四個條件,則可分別得到擬度量空間與半度量空間。

•若距離函式的對應域為擴展實數線R∪{+∞},定義中的四個條件維持不變,則稱該空間為擴展度量空間。若距離函式的對應域為某個(適當的)有序集(且三角不等式有對應的調整),則可得出“擴展超度量”這個概念。

•趨近空間是度量空間的推廣,以點對集合的距離取代點對點的距離。

•連續性空間是度量空間與偏序集的推廣,用來統整度量空間與域的概念。

•部分度量空間是為了對度量空間作最小化的推廣,使得每個點對自身的距離不再一定為零。

度量空間等價性的概念

度量空間之間有著不同的等價性。依據兩個空間之間能夠存在的函式,可給出不同等價的程度與類型。

給定兩個度量空間 (M,d) 和 (M,d):

•這兩個空間稱之為同胚(拓撲同構)的,若存在兩者間的同胚(即兩個方向均為連續的雙射)。在此條件下,這兩個空間能導出相同的拓撲空間。

•這兩個空間稱之為一致同構的,若存在兩者間的一致同構(即兩個方向均為一致連續的雙射)。

•這兩個空間稱之為等距同構的,若存在兩者間的等距同構雙射。在此一條件下,兩個度量空間基本上是相同的。

•這兩個空間稱之為擬等距同構的,若存在兩者間的擬等距同構。

參見

•三角不等式

•利普希茨連續

•等距同構,壓縮映射和度量映射

•範數

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