定義
滿足乘法交換律的方陣稱為可交換矩陣,即矩陣A，B滿足：A·B=B·A。
高等代數中可交換矩陣具有一些特殊的性質。下面所說的的矩陣均指n 階實方陣.。
條件
定理1
下面是可交換矩陣的充分條件：
(1) 設A , B 至少有一個為零矩陣,則A , B 可交換;
(2) 設A , B 至少有一個為單位矩陣, 則A , B可交換;
(3) 設A , B 至少有一個為數量矩陣, 則A , B可交換;
(4) 設A , B 均為對角矩陣,則A , B 可交換;
(5) 設A , B 均為準對角矩陣（準對角矩陣是分塊矩陣概念下的一種矩陣。即除去主對角線上分塊矩陣不為零矩陣外，其餘分塊矩陣均為零矩陣）,且對角線上的子塊均可交換，則A , B 可交換;
(6) 設A*是A 的伴隨矩陣,則A*與A可交換;
(7) 設A可逆,則A 與其逆矩陣可交換;
註：A的逆矩陣經過數乘變換所得到的矩陣也可以與A進行交換。
可交換矩陣
可交換矩陣
可交換矩陣
可交換矩陣(8) （n=0,1...,）可與(m=0,1...,)交換.這一點由矩陣乘法的結合律證明。
定理2
(1) 設AB =αA +βB ,其中α,β為非零實數,則A , B 可交換;
(2) 設A m +αAB = E ,其中m 為正整數,α為非零實數,則A , B 可交換.
定理3
(1) 設A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,則A , B 可交換;
(2) 設A , B 均可逆, 若對任意實數k , 均有A = ( A - k·E) B ,則A , B 可交換.
充要條件
定理4
下列均是A , B 可交換的充要條件:
(1) A² - B² = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B)
(2) ( A ±B) ² = A ² ±2 AB + B² ;
(3) ( AB) = A B ;
(4) ( AB) = A B
定理5
可逆矩陣A , B 可交換的充要條件是：
(AB) = A ·B .
定理6
(1) 設A , B 均為(反) 對稱矩陣, 則A , B 可交換的充要條件是AB 為對稱矩陣;
(2) 設A , B 有一為對稱矩陣,另一為反對稱矩陣,則A , B 可交換的充要條件是AB 為反對稱矩陣.
性質
性質1
設A , B 可交換,則有:
(1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是正整數;
(2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的多項式,即A 與B 的多項式可交換;
(3) A - B = ( A - B ) ( A + A B …+B ) = ( A + A B + …+ B) ( A - B)
可交換矩陣(4) ( A + B )^m =(矩陣二項式定理)
性質2
設A , B 可交換,
(1) 若A , B 均為對合矩陣,則AB 也為對合矩陣;
(2) 若A , B 均為冪等矩陣, 則AB , A + B -AB 也為冪等矩陣;
(3) 若A , B 均為冪麼矩陣,則AB 也為冪麼矩陣;
(4) 若A , B 均為冪零矩陣,則AB , A + B 均為冪零矩陣.
性質3
若A,B可交換，則A，B可同時上三角化。
