定義
如果對角形矩陣A中主對角線上的元素全為k,則A=kE,E為單位陣,則稱A為純量矩陣。又或者,可以這么描述:純量矩陣是指主對角線上的元素都相同,其餘元素都為0的矩陣。其數學表達形式如下:
矩陣A正好是在 的任一基中對應於比為k 的 的同位相似的矩陣。
映射k↦kE是從交換體K到全體n階純量矩陣之集上的同構。
性質
定理1
設A是數域F上n階矩陣,則下列命題等價:
(1) A是純量矩陣;
(2) A與F上任一n階矩陣都可換;
(3) A的任一相似陣必是A本身;
(4) 設(表示 i 行 j 列的元素為1,其餘元素全為0的n階矩陣,);
(5) 設同(4),則;
(6) 設n階矩陣:
則:AH=HA,AH'=H'A(H'為H的轉置矩陣);
(7) 設n階矩陣:
則:AU=UA,AU'=U'A(U'為U的轉置矩陣);
(8)設n階矩陣U同(7)且:
則:AU=UA,AL=LA;
(9)設n階矩陣U同(7),且:
則:AU=UA,AQ=QA。
定理2
設A是數域F上n階矩陣,則下列命題等價:
(1) A是純量矩陣;
(2) A的極小多項式是一次的;
(3) A的不變因式都相等;
(4) A的不變因式都是一次的;
(5) A的行列式因子組是型如;
(6) A的初等因子全相等,且因子個數等於n;
(7) A的初等因子全相等,且A的初等因子全體等於A的不變因子全體。
定理3
設A是數域F上n階矩陣,V是F上n維向量空間,線性變換A在基下的對應陣是A,則下列命題等價:
(1) A是純量矩陣;
(2) A是純量變換,即(,是V的恆等變換);
(3) 設B是V的任一線性變換,則AB=BA;
(4) A在V的任一基下所對應的矩陣仍是A;
(5) V的任一子空間都是A的不變子空間;
(6) V的任一一維子空間都是A的不變子空間;
(7) 設V的基為,則都是A的不變子空間;都是A的不變子空間。
引理及定理
引理
引理 1:如果數域F 上 n 階方陣A 與任意n階方陣的乘法是可交換的,那么 A 一定是純量矩陣。
引理 2:數域F 上 n 階方陣A 為純量矩陣的充要條件是 A 與任何 n 階可逆矩陣的乘法可交換。
定理
(1)定理 1:數域F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是:A 與所有行列式為 1 的n階矩陣可交換。
(2)定理 2:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是中的每個非零向量都是它的特徵向量。
(3)定理 3:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的不變因子都不是常數。
根據定理 3 和行列式因子、初等因子、不變因子的關係,容易得到:
1)推論 1:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的不變因子都是一次的。
2)推論 2:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的 k 階行列式因子都是 k 次的。
3)推論 3:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的初等因子都相等,且 A 的初等因子組
為 A 的不變因子全體。
數域 F 上 n 階矩陣的相似是一個等價關係,在相似關係下, A 的等價類稱為 A 的相似類。
(4)定理 4:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的相似類里只有一個元素 。