純量矩陣

純量矩陣

如果對角形矩陣A中主對角線上的元素全為k,則A=kE,E為單位陣,則稱A為純量矩陣。又或者,可以這么描述:純量矩陣是指主對角線上的元素都相同,其餘元素都為0的矩陣。 純量矩陣,又稱數量矩陣、標量矩陣、純量陣,它有且只有一個n重特徵值。

定義

如果對角形矩陣A中主對角線上的元素全為k,則A=kE,E為單位陣,則稱A為純量矩陣。又或者,可以這么描述:純量矩陣是指主對角線上的元素都相同,其餘元素都為0的矩陣。其數學表達形式如下:

純量矩陣 純量矩陣
純量矩陣 純量矩陣
純量矩陣 純量矩陣

矩陣A正好是在 的任一基中對應於比為k 的 的同位相似的矩陣。

映射k↦kE是從交換體K到全體n階純量矩陣之集上的同構。

性質

定理1

設A是數域F上n階矩陣,則下列命題等價:

(1) A是純量矩陣;

(2) A與F上任一n階矩陣都可換;

(3) A的任一相似陣必是A本身;

純量矩陣 純量矩陣
純量矩陣 純量矩陣

(4) 設(表示 i 行 j 列的元素為1,其餘元素全為0的n階矩陣,);

純量矩陣 純量矩陣
純量矩陣 純量矩陣

(5) 設同(4),則;

(6) 設n階矩陣:

純量矩陣 純量矩陣

則:AH=HA,AH'=H'A(H'為H的轉置矩陣);

(7) 設n階矩陣:

純量矩陣 純量矩陣

則:AU=UA,AU'=U'A(U'為U的轉置矩陣);

(8)設n階矩陣U同(7)且:

純量矩陣 純量矩陣

則:AU=UA,AL=LA;

(9)設n階矩陣U同(7),且:

純量矩陣 純量矩陣

則:AU=UA,AQ=QA。

定理2

設A是數域F上n階矩陣,則下列命題等價:

(1) A是純量矩陣;

(2) A的極小多項式是一次的;

(3) A的不變因式都相等;

(4) A的不變因式都是一次的;

純量矩陣 純量矩陣

(5) A的行列式因子組是型如;

(6) A的初等因子全相等,且因子個數等於n;

(7) A的初等因子全相等,且A的初等因子全體等於A的不變因子全體。

定理3

設A是數域F上n階矩陣,V是F上n維向量空間,線性變換A在基下的對應陣是A,則下列命題等價:

(1) A是純量矩陣;

純量矩陣 純量矩陣
純量矩陣 純量矩陣
純量矩陣 純量矩陣

(2) A是純量變換,即(,是V的恆等變換);

(3) 設B是V的任一線性變換,則AB=BA;

(4) A在V的任一基下所對應的矩陣仍是A;

(5) V的任一子空間都是A的不變子空間;

(6) V的任一一維子空間都是A的不變子空間;

純量矩陣 純量矩陣
純量矩陣 純量矩陣
純量矩陣 純量矩陣

(7) 設V的基為,則都是A的不變子空間;都是A的不變子空間。

引理及定理

引理

引理 1:如果數域F 上 n 階方陣A 與任意n階方陣的乘法是可交換的,那么 A 一定是純量矩陣。

引理 2:數域F 上 n 階方陣A 為純量矩陣的充要條件是 A 與任何 n 階可逆矩陣的乘法可交換。

定理

(1)定理 1:數域F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是:A 與所有行列式為 1 的n階矩陣可交換。

純量矩陣 純量矩陣

(2)定理 2:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是中的每個非零向量都是它的特徵向量。

(3)定理 3:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的不變因子都不是常數。

根據定理 3 和行列式因子、初等因子、不變因子的關係,容易得到:

1)推論 1:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的不變因子都是一次的。

2)推論 2:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的 k 階行列式因子都是 k 次的。

3)推論 3:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的初等因子都相等,且 A 的初等因子組

為 A 的不變因子全體。

數域 F 上 n 階矩陣的相似是一個等價關係,在相似關係下, A 的等價類稱為 A 的相似類。

(4)定理 4:數域 F 上 n 階方陣 A 為純量矩陣的充分必要條件是 A 的相似類里只有一個元素 。

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