取整函式

取整函式

取整函式是指不超過實數x的最大整數稱為x的整數部分,記作[x]或INT(x)。該函式被廣泛套用於數論,函式繪圖和計算機領域。

基本信息

定義

不超過實數x的最大整數稱為x的整數部分,記作[x]或INT(x)。

x-[x]稱為x的小數部分,記作{x}。

(需要注意的是,對於負數,[x]並非指x小數點左邊的部分,{x}也並非指x小數點右邊的部分,例如對於負數-3.7,[-3.7]=-4,而不是-3,此時{x}=-3.7-(-4)=0.3,而不是-0.7.)

取整函式圖象 取整函式圖象

相關概念

【階梯曲線】

即取整函式的在定義域D=(-∞,+∞),值域Rf=Z的圖形,在x為整數值處,圖形發生跳躍,越度為1。

性質

性質1 對任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.

性質2對任意x∈R,函式y={x}的值域為[0,1)

性質3 取整函式(高斯函式)是一個不減函式,即對任意x1,x2∈R,若x1≤x2,則[x1]≤[x2].

性質4若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.後一式子表明y={x}是一個以1為周期的函式.

性質5 若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.

性質6若n∈N+,x∈R,則[nx]≥n[x].

性質7若n∈N+,x∈R+,則在區間[1,x]內,恰好有[x/n]個整數是n的倍數.

性質8設p為質數,n∈N+,則p在n!的質因數分解式中的冪次為

p(n!)=[n/p]+[n/p ]+….

厄米特恆等式

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套用

取整函式與微積分有著緊密聯繫,它在科學和工程上有廣泛套用。

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